Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11030 / 23794
↖ ↑ ↗
← S 62.845119°
W 58.820801°		 ← 557.55 m → S 62.845119°
W 58.809814°		 →
↑
557.46 m
↓
↑
557.46 m
↓
S 62.850133°
W 58.820801°		 ← 557.46 m →
310 788 m²		 S 62.850133°
W 58.809814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.336624145507812 y=0.726150512695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.336624145507812 × 215)
    floor (0.336624145507812 × 32768)
    floor (11030.5)     		tx = 11030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726150512695312 × 215)
    floor (0.726150512695312 × 32768)
    floor (23794.5)     		ty = 23794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11030 / 23794 ti = "15/11030/23794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11030/23794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11030 ÷ 215
    11030 ÷ 32768     		x = 0.33660888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23794 ÷ 215
    23794 ÷ 32768     		y = 0.72613525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33660888671875 × 2 - 1) × π
    -0.3267822265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.02661664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72613525390625 × 2 - 1) × π
    -0.4522705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42084970473846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.02661664} λ = -1.02661664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42084970473846))-π/2
    2×atan(0.241508718585352)-π/2
    2×0.23697104085418-π/2
    0.47394208170836-1.57079632675     		φ = -1.09685425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.02661664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.820801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09685425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.845119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11030 KachelY 23794 -1.02661664 -1.09685425 -58.820801 -62.845119
    Oben rechts KachelX + 1 11031 KachelY 23794 -1.02642489 -1.09685425 -58.809814 -62.845119
    Unten links KachelX 11030 KachelY + 1 23795 -1.02661664 -1.09694175 -58.820801 -62.850133
    Unten rechts KachelX + 1 11031 KachelY + 1 23795 -1.02642489 -1.09694175 -58.809814 -62.850133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09685425--1.09694175) × R
    8.75000000000181e-05 × 6371000     		dl = 557.462500000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09685425--1.09694175) × R
    8.75000000000181e-05 × 6371000     		dr = 557.462500000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.02661664--1.02642489) × cos(-1.09685425) × R
    0.000191750000000157 × 0.456397388021196 × 6371000     		do = 557.55296280463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.02661664--1.02642489) × cos(-1.09694175) × R
    0.000191750000000157 × 0.456319530869526 × 6371000     		du = 557.457849452256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09685425)-sin(-1.09694175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456397388021196-0.456319530869526)×R²
    abs(-1.02642489--1.02661664)×7.7857151670413e-05×R²
    0.000191750000000157×7.7857151670413e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.7857151670413e-05×40589641000000     		ar = 310788.357662219m²