Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1103 / 2192
↖ ↑ ↗
← N 63.860036°
W131.528320°		 ← 2 152.82 m → N 63.860036°
W131.484375°		 →
↑
2 153.59 m
↓
↑
2 153.59 m
↓
N 63.840668°
W131.528320°		 ← 2 154.30 m →
4 637 887 m²		 N 63.840668°
W131.484375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13470458984375 y=0.26763916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13470458984375 × 213)
    floor (0.13470458984375 × 8192)
    floor (1103.5)     		tx = 1103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26763916015625 × 213)
    floor (0.26763916015625 × 8192)
    floor (2192.5)     		ty = 2192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1103 / 2192 ti = "13/1103/2192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1103/2192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1103 ÷ 213
    1103 ÷ 8192     		x = 0.1346435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2192 ÷ 213
    2192 ÷ 8192     		y = 0.267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1346435546875 × 2 - 1) × π
    -0.730712890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.29560225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267578125 × 2 - 1) × π
    0.46484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.46034971002539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29560225} λ = -2.29560225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46034971002539))-π/2
    2×atan(4.30746562889508)-π/2
    2×1.34268210679646-π/2
    2.68536421359292-1.57079632675     		φ = 1.11456789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29560225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.528320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11456789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.860036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1103 KachelY 2192 -2.29560225 1.11456789 -131.528320 63.860036
    Oben rechts KachelX + 1 1104 KachelY 2192 -2.29483526 1.11456789 -131.484375 63.860036
    Unten links KachelX 1103 KachelY + 1 2193 -2.29560225 1.11422986 -131.528320 63.840668
    Unten rechts KachelX + 1 1104 KachelY + 1 2193 -2.29483526 1.11422986 -131.484375 63.840668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11456789-1.11422986) × R
    0.000338029999999989 × 6371000     		dl = 2153.58912999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11456789-1.11422986) × R
    0.000338029999999989 × 6371000     		dr = 2153.58912999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29560225--2.29483526) × cos(1.11456789) × R
    0.000766989999999801 × 0.44056543883997 × 6371000     		do = 2152.82006069686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29560225--2.29483526) × cos(1.11422986) × R
    0.000766989999999801 × 0.440868870123979 × 6371000     		du = 2154.30277563015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11456789)-sin(1.11422986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44056543883997-0.440868870123979)×R²
    abs(-2.29483526--2.29560225)×0.000303431284009226×R²
    0.000766989999999801×0.000303431284009226×6371000²
    0.000766989999999801×0.000303431284009226×40589641000000     		ar = 4637886.50510753m²