Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1103 / 1490
↖ ↑ ↗
← S 63.074866°
E 13.886718°		 ← 8 850.95 m → S 63.074866°
E 14.062500°		 →
↑
8 838.87 m
↓
↑
8 838.87 m
↓
S 63.154355°
E 13.886718°		 ← 8 826.76 m →
78 125 535 m²		 S 63.154355°
E 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538818359375 y=0.727783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538818359375 × 211)
    floor (0.538818359375 × 2048)
    floor (1103.5)     		tx = 1103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727783203125 × 211)
    floor (0.727783203125 × 2048)
    floor (1490.5)     		ty = 1490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1103 / 1490 ti = "11/1103/1490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1103/1490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1103 ÷ 211
    1103 ÷ 2048     		x = 0.53857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1490 ÷ 211
    1490 ÷ 2048     		y = 0.7275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53857421875 × 2 - 1) × π
    0.0771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24236896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7275390625 × 2 - 1) × π
    -0.455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42967009426855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24236896} λ = 0.24236896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42967009426855))-π/2
    2×atan(0.239387884653148)-π/2
    2×0.234966122629728-π/2
    0.469932245259457-1.57079632675     		φ = -1.10086408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24236896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.886718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10086408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.074866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1103 KachelY 1490 0.24236896 -1.10086408 13.886718 -63.074866
    Oben rechts KachelX + 1 1104 KachelY 1490 0.24543693 -1.10086408 14.062500 -63.074866
    Unten links KachelX 1103 KachelY + 1 1491 0.24236896 -1.10225144 13.886718 -63.154355
    Unten rechts KachelX + 1 1104 KachelY + 1 1491 0.24543693 -1.10225144 14.062500 -63.154355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10086408--1.10225144) × R
    0.00138736000000006 × 6371000     		dl = 8838.87056000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10086408--1.10225144) × R
    0.00138736000000006 × 6371000     		dr = 8838.87056000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24236896-0.24543693) × cos(-1.10086408) × R
    0.00306797 × 0.452825877730534 × 6371000     		do = 8850.95130181114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24236896-0.24543693) × cos(-1.10225144) × R
    0.00306797 × 0.451588473587174 × 6371000     		du = 8826.76495480193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10086408)-sin(-1.10225144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452825877730534-0.451588473587174)×R²
    abs(0.24543693-0.24236896)×0.00123740414336049×R²
    0.00306797×0.00123740414336049×6371000²
    0.00306797×0.00123740414336049×40589641000000     		ar = 78125535.4254435m²