Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11029 / 23789
↖ ↑ ↗
← S 62.820037°
W 58.831787°		 ← 558.03 m → S 62.820037°
W 58.820801°		 →
↑
557.97 m
↓
↑
557.97 m
↓
S 62.825055°
W 58.831787°		 ← 557.93 m →
311 338 m²		 S 62.825055°
W 58.820801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.336593627929688 y=0.725997924804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.336593627929688 × 215)
    floor (0.336593627929688 × 32768)
    floor (11029.5)     		tx = 11029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725997924804688 × 215)
    floor (0.725997924804688 × 32768)
    floor (23789.5)     		ty = 23789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11029 / 23789 ti = "15/11029/23789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11029/23789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11029 ÷ 215
    11029 ÷ 32768     		x = 0.336578369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23789 ÷ 215
    23789 ÷ 32768     		y = 0.725982666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.336578369140625 × 2 - 1) × π
    -0.32684326171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.02680839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725982666015625 × 2 - 1) × π
    -0.45196533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41989096674606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.02680839} λ = -1.02680839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41989096674606))-π/2
    2×atan(0.241740373199651)-π/2
    2×0.237189916951233-π/2
    0.474379833902465-1.57079632675     		φ = -1.09641649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.02680839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.831787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09641649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.820037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11029 KachelY 23789 -1.02680839 -1.09641649 -58.831787 -62.820037
    Oben rechts KachelX + 1 11030 KachelY 23789 -1.02661664 -1.09641649 -58.820801 -62.820037
    Unten links KachelX 11029 KachelY + 1 23790 -1.02680839 -1.09650407 -58.831787 -62.825055
    Unten rechts KachelX + 1 11030 KachelY + 1 23790 -1.02661664 -1.09650407 -58.820801 -62.825055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09641649--1.09650407) × R
    8.7579999999976e-05 × 6371000     		dl = 557.972179999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09641649--1.09650407) × R
    8.7579999999976e-05 × 6371000     		dr = 557.972179999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.02680839--1.02661664) × cos(-1.09641649) × R
    0.000191749999999935 × 0.456786852643061 × 6371000     		do = 558.02874807254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.02680839--1.02661664) × cos(-1.09650407) × R
    0.000191749999999935 × 0.456708941809912 × 6371000     		du = 557.933569140765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09641649)-sin(-1.09650407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456786852643061-0.456708941809912)×R²
    abs(-1.02661664--1.02680839)×7.79108331491751e-05×R²
    0.000191749999999935×7.79108331491751e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.79108331491751e-05×40589641000000     		ar = 311337.963666228m²