Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1101 / 1491
↖ ↑ ↗
← S 63.154355°
E 13.535156°		 ← 8 826.74 m → S 63.154355°
E 13.710937°		 →
↑
8 814.66 m
↓
↑
8 814.66 m
↓
S 63.233628°
E 13.535156°		 ← 8 802.60 m →
77 698 318 m²		 S 63.233628°
E 13.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537841796875 y=0.728271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537841796875 × 211)
    floor (0.537841796875 × 2048)
    floor (1101.5)     		tx = 1101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728271484375 × 211)
    floor (0.728271484375 × 2048)
    floor (1491.5)     		ty = 1491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1101 / 1491 ti = "11/1101/1491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1101/1491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1101 ÷ 211
    1101 ÷ 2048     		x = 0.53759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1491 ÷ 211
    1491 ÷ 2048     		y = 0.72802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53759765625 × 2 - 1) × π
    0.0751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23623304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72802734375 × 2 - 1) × π
    -0.4560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43273805584424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23623304} λ = 0.23623304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43273805584424))-π/2
    2×atan(0.238654577275957)-π/2
    2×0.234272445829435-π/2
    0.468544891658871-1.57079632675     		φ = -1.10225144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23623304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.535156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10225144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.154355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1101 KachelY 1491 0.23623304 -1.10225144 13.535156 -63.154355
    Oben rechts KachelX + 1 1102 KachelY 1491 0.23930100 -1.10225144 13.710937 -63.154355
    Unten links KachelX 1101 KachelY + 1 1492 0.23623304 -1.10363500 13.535156 -63.233628
    Unten rechts KachelX + 1 1102 KachelY + 1 1492 0.23930100 -1.10363500 13.710937 -63.233628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10225144--1.10363500) × R
    0.00138355999999984 × 6371000     		dl = 8814.66075999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10225144--1.10363500) × R
    0.00138355999999984 × 6371000     		dr = 8814.66075999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23623304-0.23930100) × cos(-1.10225144) × R
    0.00306796000000001 × 0.451588473587174 × 6371000     		do = 8826.73618410029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23623304-0.23930100) × cos(-1.10363500) × R
    0.00306796000000001 × 0.450353593075369 × 6371000     		du = 8802.59924276075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10225144)-sin(-1.10363500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451588473587174-0.450353593075369)×R²
    abs(0.23930100-0.23623304)×0.00123488051180459×R²
    0.00306796000000001×0.00123488051180459×6371000²
    0.00306796000000001×0.00123488051180459×40589641000000     		ar = 77698318.0004259m²