Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11001 / 5879
↖ ↑ ↗
← N 81.315789°
W119.569702°		 ← 92.23 m → N 81.315789°
W119.564209°		 →
↑
92.25 m
↓
↑
92.25 m
↓
N 81.314959°
W119.569702°		 ← 92.24 m →
8 509 m²		 N 81.314959°
W119.564209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167869567871094 y=0.0897140502929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167869567871094 × 216)
    floor (0.167869567871094 × 65536)
    floor (11001.5)     		tx = 11001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0897140502929688 × 216)
    floor (0.0897140502929688 × 65536)
    floor (5879.5)     		ty = 5879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11001 / 5879 ti = "16/11001/5879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11001/5879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11001 ÷ 216
    11001 ÷ 65536     		x = 0.167861938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5879 ÷ 216
    5879 ÷ 65536     		y = 0.0897064208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.167861938476562 × 2 - 1) × π
    -0.664276123046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.08688499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0897064208984375 × 2 - 1) × π
    0.820587158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57795058776738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.08688499} λ = -2.08688499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57795058776738))-π/2
    2×atan(13.1701194789425)-π/2
    2×1.49501228692311-π/2
    2.99002457384623-1.57079632675     		φ = 1.41922825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.08688499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.569702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41922825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.315789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11001 KachelY 5879 -2.08688499 1.41922825 -119.569702 81.315789
    Oben rechts KachelX + 1 11002 KachelY 5879 -2.08678911 1.41922825 -119.564209 81.315789
    Unten links KachelX 11001 KachelY + 1 5880 -2.08688499 1.41921377 -119.569702 81.314959
    Unten rechts KachelX + 1 11002 KachelY + 1 5880 -2.08678911 1.41921377 -119.564209 81.314959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41922825-1.41921377) × R
    1.44799999999279e-05 × 6371000     		dl = 92.2520799995405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41922825-1.41921377) × R
    1.44799999999279e-05 × 6371000     		dr = 92.2520799995405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.08688499--2.08678911) × cos(1.41922825) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.15098841709693 × 6371000     		do = 92.2314980468837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.08688499--2.08678911) × cos(1.41921377) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.151002731075603 × 6371000     		du = 92.2402417619408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41922825)-sin(1.41921377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15098841709693-0.151002731075603)×R²
    abs(-2.08678911--2.08688499)×1.43139786729918e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.43139786729918e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.43139786729918e-05×40589641000000     		ar = 8508.95084970275m²