Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10998 / 5865
↖ ↑ ↗
← N 81.327392°
W119.586182°		 ← 92.10 m → N 81.327392°
W119.580689°		 →
↑
92.06 m
↓
↑
92.06 m
↓
N 81.326565°
W119.586182°		 ← 92.11 m →
8 479 m²		 N 81.326565°
W119.580689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167823791503906 y=0.0895004272460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167823791503906 × 216)
    floor (0.167823791503906 × 65536)
    floor (10998.5)     		tx = 10998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0895004272460938 × 216)
    floor (0.0895004272460938 × 65536)
    floor (5865.5)     		ty = 5865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10998 / 5865 ti = "16/10998/5865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10998/5865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10998 ÷ 216
    10998 ÷ 65536     		x = 0.167816162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5865 ÷ 216
    5865 ÷ 65536     		y = 0.0894927978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.167816162109375 × 2 - 1) × π
    -0.66436767578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.08717261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0894927978515625 × 2 - 1) × π
    0.821014404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.57929282095674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.08717261} λ = -2.08717261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57929282095674))-π/2
    2×atan(13.187808719302)-π/2
    2×1.49511355056125-π/2
    2.99022710112251-1.57079632675     		φ = 1.41943077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.08717261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.586182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41943077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.327392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10998 KachelY 5865 -2.08717261 1.41943077 -119.586182 81.327392
    Oben rechts KachelX + 1 10999 KachelY 5865 -2.08707674 1.41943077 -119.580689 81.327392
    Unten links KachelX 10998 KachelY + 1 5866 -2.08717261 1.41941632 -119.586182 81.326565
    Unten rechts KachelX + 1 10999 KachelY + 1 5866 -2.08707674 1.41941632 -119.580689 81.326565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41943077-1.41941632) × R
    1.44499999998882e-05 × 6371000     		dl = 92.0609499992875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41943077-1.41941632) × R
    1.44499999998882e-05 × 6371000     		dr = 92.0609499992875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.08717261--2.08707674) × cos(1.41943077) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150788215786025 × 6371000     		do = 92.0995980622228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.08717261--2.08707674) × cos(1.41941632) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15080250055028 × 6371000     		du = 92.1083230215271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41943077)-sin(1.41941632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150788215786025-0.15080250055028)×R²
    abs(-2.08707674--2.08717261)×1.42847642551069e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.42847642551069e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.42847642551069e-05×40589641000000     		ar = 8479.17810671502m²