Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 109848 / 45288
↖ ↑ ↗
← N 48.502047°
E121.706543°		 ← 202.33 m → N 48.502047°
E121.709289°		 →
↑
202.34 m
↓
↑
202.34 m
↓
N 48.500228°
E121.706543°		 ← 202.34 m →
40 941 m²		 N 48.500228°
E121.709289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.838077545166016 y=0.345523834228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.838077545166016 × 217)
    floor (0.838077545166016 × 131072)
    floor (109848.5)     		tx = 109848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345523834228516 × 217)
    floor (0.345523834228516 × 131072)
    floor (45288.5)     		ty = 45288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 109848 / 45288 ti = "17/109848/45288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/109848/45288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109848 ÷ 217
    109848 ÷ 131072     		x = 0.83807373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45288 ÷ 217
    45288 ÷ 131072     		y = 0.34552001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83807373046875 × 2 - 1) × π
    0.6761474609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.12417990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34552001953125 × 2 - 1) × π
    0.3089599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.970626343506897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.12417990} λ = 2.12417990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.970626343506897))-π/2
    2×atan(2.63959723628684)-π/2
    2×1.20865837485098-π/2
    2.41731674970195-1.57079632675     		φ = 0.84652042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.12417990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.706543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84652042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.502047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109848 KachelY 45288 2.12417990 0.84652042 121.706543 48.502047
    Oben rechts KachelX + 1 109849 KachelY 45288 2.12422783 0.84652042 121.709289 48.502047
    Unten links KachelX 109848 KachelY + 1 45289 2.12417990 0.84648866 121.706543 48.500228
    Unten rechts KachelX + 1 109849 KachelY + 1 45289 2.12422783 0.84648866 121.709289 48.500228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84652042-0.84648866) × R
    3.17600000000473e-05 × 6371000     		dl = 202.342960000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84652042-0.84648866) × R
    3.17600000000473e-05 × 6371000     		dr = 202.342960000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.12417990-2.12422783) × cos(0.84652042) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.662593285520656 × 6371000     		do = 202.330830731081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.12417990-2.12422783) × cos(0.84648866) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.66261707277214 × 6371000     		du = 202.338094454482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84652042)-sin(0.84648866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662593285520656-0.66261707277214)×R²
    abs(2.12422783-2.12417990)×2.37872514846638e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37872514846638e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37872514846638e-05×40589641000000     		ar = 40940.954074651m²