Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 109839 / 46327
↖ ↑ ↗
← N 46.575855°
E121.681824°		 ← 209.95 m → N 46.575855°
E121.684570°		 →
↑
209.92 m
↓
↑
209.92 m
↓
N 46.573967°
E121.681824°		 ← 209.96 m →
44 074 m²		 N 46.573967°
E121.684570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.838008880615234 y=0.353450775146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.838008880615234 × 217)
    floor (0.838008880615234 × 131072)
    floor (109839.5)     		tx = 109839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353450775146484 × 217)
    floor (0.353450775146484 × 131072)
    floor (46327.5)     		ty = 46327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 109839 / 46327 ti = "17/109839/46327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/109839/46327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109839 ÷ 217
    109839 ÷ 131072     		x = 0.838005065917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46327 ÷ 217
    46327 ÷ 131072     		y = 0.353446960449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.838005065917969 × 2 - 1) × π
    0.676010131835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.12374846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353446960449219 × 2 - 1) × π
    0.293106079101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.920819904801659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.12374846} λ = 2.12374846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.920819904801659))-π/2
    2×atan(2.51134861283388)-π/2
    2×1.19184917259208-π/2
    2.38369834518417-1.57079632675     		φ = 0.81290202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.12374846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.681824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81290202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.575855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109839 KachelY 46327 2.12374846 0.81290202 121.681824 46.575855
    Oben rechts KachelX + 1 109840 KachelY 46327 2.12379640 0.81290202 121.684570 46.575855
    Unten links KachelX 109839 KachelY + 1 46328 2.12374846 0.81286907 121.681824 46.573967
    Unten rechts KachelX + 1 109840 KachelY + 1 46328 2.12379640 0.81286907 121.684570 46.573967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81290202-0.81286907) × R
    3.29500000000316e-05 × 6371000     		dl = 209.924450000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81290202-0.81286907) × R
    3.29500000000316e-05 × 6371000     		dr = 209.924450000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.12374846-2.12379640) × cos(0.81290202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687393636656882 × 6371000     		do = 209.947710147082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.12374846-2.12379640) × cos(0.81286907) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.68741756737645 × 6371000     		du = 209.955019204814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81290202)-sin(0.81286907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687393636656882-0.68741756737645)×R²
    abs(2.12379640-2.12374846)×2.39307195679661e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39307195679661e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39307195679661e-05×40589641000000     		ar = 44073.92476025m²