Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 109838 / 46322
↖ ↑ ↗
← N 46.585294°
E121.679077°		 ← 209.87 m → N 46.585294°
E121.681824°		 →
↑
209.86 m
↓
↑
209.86 m
↓
N 46.583406°
E121.679077°		 ← 209.87 m →
44 044 m²		 N 46.583406°
E121.681824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.838001251220703 y=0.353412628173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.838001251220703 × 217)
    floor (0.838001251220703 × 131072)
    floor (109838.5)     		tx = 109838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353412628173828 × 217)
    floor (0.353412628173828 × 131072)
    floor (46322.5)     		ty = 46322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 109838 / 46322 ti = "17/109838/46322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/109838/46322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109838 ÷ 217
    109838 ÷ 131072     		x = 0.837997436523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46322 ÷ 217
    46322 ÷ 131072     		y = 0.353408813476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.837997436523438 × 2 - 1) × π
    0.675994873046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.12370053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353408813476562 × 2 - 1) × π
    0.293182373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.921059589299759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.12370053} λ = 2.12370053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.921059589299759))-π/2
    2×atan(2.51195061630827)-π/2
    2×1.19193154422145-π/2
    2.38386308844289-1.57079632675     		φ = 0.81306676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.12370053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.679077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81306676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.585294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109838 KachelY 46322 2.12370053 0.81306676 121.679077 46.585294
    Oben rechts KachelX + 1 109839 KachelY 46322 2.12374846 0.81306676 121.681824 46.585294
    Unten links KachelX 109838 KachelY + 1 46323 2.12370053 0.81303382 121.679077 46.583406
    Unten rechts KachelX + 1 109839 KachelY + 1 46323 2.12374846 0.81303382 121.681824 46.583406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81306676-0.81303382) × R
    3.29399999999813e-05 × 6371000     		dl = 209.860739999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81306676-0.81303382) × R
    3.29399999999813e-05 × 6371000     		dr = 209.860739999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.12370053-2.12374846) × cos(0.81306676) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.687273979128969 × 6371000     		do = 209.867377433128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.12370053-2.12374846) × cos(0.81303382) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.68729790631582 × 6371000     		du = 209.874683887477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81306676)-sin(0.81303382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687273979128969-0.68729790631582)×R²
    abs(2.12374846-2.12370053)×2.39271868501811e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39271868501811e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39271868501811e-05×40589641000000     		ar = 44043.689802848m²