Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 109837 / 46323
↖ ↑ ↗
← N 46.583406°
E121.676331°		 ← 209.92 m → N 46.583406°
E121.679077°		 →
↑
209.92 m
↓
↑
209.92 m
↓
N 46.581519°
E121.676331°		 ← 209.93 m →
44 068 m²		 N 46.581519°
E121.679077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.837993621826172 y=0.353420257568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.837993621826172 × 217)
    floor (0.837993621826172 × 131072)
    floor (109837.5)     		tx = 109837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353420257568359 × 217)
    floor (0.353420257568359 × 131072)
    floor (46323.5)     		ty = 46323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 109837 / 46323 ti = "17/109837/46323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/109837/46323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109837 ÷ 217
    109837 ÷ 131072     		x = 0.837989807128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46323 ÷ 217
    46323 ÷ 131072     		y = 0.353416442871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.837989807128906 × 2 - 1) × π
    0.675979614257812 × 3.1415926535     		Λ = 2.12365259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353416442871094 × 2 - 1) × π
    0.293167114257812 × 3.1415926535     		Φ = 0.921011652400139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.12365259} λ = 2.12365259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.921011652400139))-π/2
    2×atan(2.51183020406984)-π/2
    2×1.1919150710428-π/2
    2.38383014208559-1.57079632675     		φ = 0.81303382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.12365259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.676331°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81303382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.583406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109837 KachelY 46323 2.12365259 0.81303382 121.676331 46.583406
    Oben rechts KachelX + 1 109838 KachelY 46323 2.12370053 0.81303382 121.679077 46.583406
    Unten links KachelX 109837 KachelY + 1 46324 2.12365259 0.81300087 121.676331 46.581519
    Unten rechts KachelX + 1 109838 KachelY + 1 46324 2.12370053 0.81300087 121.679077 46.581519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81303382-0.81300087) × R
    3.29500000000316e-05 × 6371000     		dl = 209.924450000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81303382-0.81300087) × R
    3.29500000000316e-05 × 6371000     		dr = 209.924450000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.12365259-2.12370053) × cos(0.81303382) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.68729790631582 × 6371000     		do = 209.918471636822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.12365259-2.12370053) × cos(0.81300087) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687321840020452 × 6371000     		du = 209.92578160627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81303382)-sin(0.81300087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68729790631582-0.687321840020452)×R²
    abs(2.12370053-2.12365259)×2.39337046320509e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39337046320509e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39337046320509e-05×40589641000000     		ar = 44067.7869780616m²