Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 109825 / 46334
↖ ↑ ↗
← N 46.562637°
E121.643372°		 ← 209.96 m → N 46.562637°
E121.646118°		 →
↑
209.99 m
↓
↑
209.99 m
↓
N 46.560749°
E121.643372°		 ← 209.96 m →
44 089 m²		 N 46.560749°
E121.646118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.837902069091797 y=0.353504180908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.837902069091797 × 217)
    floor (0.837902069091797 × 131072)
    floor (109825.5)     		tx = 109825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353504180908203 × 217)
    floor (0.353504180908203 × 131072)
    floor (46334.5)     		ty = 46334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 109825 / 46334 ti = "17/109825/46334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/109825/46334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109825 ÷ 217
    109825 ÷ 131072     		x = 0.837898254394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46334 ÷ 217
    46334 ÷ 131072     		y = 0.353500366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.837898254394531 × 2 - 1) × π
    0.675796508789062 × 3.1415926535     		Λ = 2.12307735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353500366210938 × 2 - 1) × π
    0.292999267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.920484346504318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.12307735} λ = 2.12307735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.920484346504318))-π/2
    2×atan(2.51050605034165)-π/2
    2×1.19173382821898-π/2
    2.38346765643795-1.57079632675     		φ = 0.81267133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.12307735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.643372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81267133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.562637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109825 KachelY 46334 2.12307735 0.81267133 121.643372 46.562637
    Oben rechts KachelX + 1 109826 KachelY 46334 2.12312528 0.81267133 121.646118 46.562637
    Unten links KachelX 109825 KachelY + 1 46335 2.12307735 0.81263837 121.643372 46.560749
    Unten rechts KachelX + 1 109826 KachelY + 1 46335 2.12312528 0.81263837 121.646118 46.560749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81267133-0.81263837) × R
    3.29599999999708e-05 × 6371000     		dl = 209.988159999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81267133-0.81263837) × R
    3.29599999999708e-05 × 6371000     		dr = 209.988159999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.12307735-2.12312528) × cos(0.81267133) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.687561165065057 × 6371000     		do = 209.955073113559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.12307735-2.12312528) × cos(0.81263837) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.687585097819895 × 6371000     		du = 209.96238126816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81267133)-sin(0.81263837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687561165065057-0.687585097819895)×R²
    abs(2.12312528-2.12307735)×2.39327548374746e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39327548374746e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39327548374746e-05×40589641000000     		ar = 44088.8468027033m²