Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 109808 / 46320
↖ ↑ ↗
← N 46.589069°
E121.596680°		 ← 209.90 m → N 46.589069°
E121.599426°		 →
↑
209.86 m
↓
↑
209.86 m
↓
N 46.587182°
E121.596680°		 ← 209.90 m →
44 050 m²		 N 46.587182°
E121.599426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.837772369384766 y=0.353397369384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.837772369384766 × 217)
    floor (0.837772369384766 × 131072)
    floor (109808.5)     		tx = 109808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353397369384766 × 217)
    floor (0.353397369384766 × 131072)
    floor (46320.5)     		ty = 46320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 109808 / 46320 ti = "17/109808/46320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/109808/46320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109808 ÷ 217
    109808 ÷ 131072     		x = 0.8377685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46320 ÷ 217
    46320 ÷ 131072     		y = 0.3533935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8377685546875 × 2 - 1) × π
    0.675537109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.12226242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3533935546875 × 2 - 1) × π
    0.293212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.921155463098999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.12226242} λ = 2.12226242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.921155463098999))-π/2
    2×atan(2.51219145810238)-π/2
    2×1.19196448885793-π/2
    2.38392897771585-1.57079632675     		φ = 0.81313265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.12226242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.596680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81313265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.589069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109808 KachelY 46320 2.12226242 0.81313265 121.596680 46.589069
    Oben rechts KachelX + 1 109809 KachelY 46320 2.12231036 0.81313265 121.599426 46.589069
    Unten links KachelX 109808 KachelY + 1 46321 2.12226242 0.81309971 121.596680 46.587182
    Unten rechts KachelX + 1 109809 KachelY + 1 46321 2.12231036 0.81309971 121.599426 46.587182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81313265-0.81309971) × R
    3.29399999999813e-05 × 6371000     		dl = 209.860739999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81313265-0.81309971) × R
    3.29399999999813e-05 × 6371000     		dr = 209.860739999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.12226242-2.12231036) × cos(0.81313265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687226115253693 × 6371000     		do = 209.896544798547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.12226242-2.12231036) × cos(0.81309971) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687250043932188 × 6371000     		du = 209.903853232883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81313265)-sin(0.81309971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687226115253693-0.687250043932188)×R²
    abs(2.12231036-2.12226242)×2.39286784949888e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39286784949888e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39286784949888e-05×40589641000000     		ar = 44049.811095454m²