Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1098 / 3230
↖ ↑ ↗
← S 71.469124°
W 83.496094°		 ← 3 106.01 m → S 71.469124°
W 83.408203°		 →
↑
3 103.76 m
↓
↑
3 103.76 m
↓
S 71.497037°
W 83.496094°		 ← 3 101.49 m →
9 633 298 m²		 S 71.497037°
W 83.408203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2681884765625 y=0.7886962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2681884765625 × 212)
    floor (0.2681884765625 × 4096)
    floor (1098.5)     		tx = 1098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7886962890625 × 212)
    floor (0.7886962890625 × 4096)
    floor (3230.5)     		ty = 3230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1098 / 3230 ti = "12/1098/3230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1098/3230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1098 ÷ 212
    1098 ÷ 4096     		x = 0.26806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3230 ÷ 212
    3230 ÷ 4096     		y = 0.78857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26806640625 × 2 - 1) × π
    -0.4638671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45728175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78857421875 × 2 - 1) × π
    -0.5771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.813165291229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45728175} λ = -1.45728175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.813165291229))-π/2
    2×atan(0.163136942765584)-π/2
    2×0.161712398090472-π/2
    0.323424796180943-1.57079632675     		φ = -1.24737153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45728175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.496094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24737153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.469124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1098 KachelY 3230 -1.45728175 -1.24737153 -83.496094 -71.469124
    Oben rechts KachelX + 1 1099 KachelY 3230 -1.45574777 -1.24737153 -83.408203 -71.469124
    Unten links KachelX 1098 KachelY + 1 3231 -1.45728175 -1.24785870 -83.496094 -71.497037
    Unten rechts KachelX + 1 1099 KachelY + 1 3231 -1.45574777 -1.24785870 -83.408203 -71.497037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24737153--1.24785870) × R
    0.000487170000000203 × 6371000     		dl = 3103.76007000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24737153--1.24785870) × R
    0.000487170000000203 × 6371000     		dr = 3103.76007000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45728175--1.45574777) × cos(-1.24737153) × R
    0.00153397999999982 × 0.317815647867951 × 6371000     		do = 3106.00806152714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45728175--1.45574777) × cos(-1.24785870) × R
    0.00153397999999982 × 0.317353698705443 × 6371000     		du = 3101.49343856131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24737153)-sin(-1.24785870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317815647867951-0.317353698705443)×R²
    abs(-1.45574777--1.45728175)×0.00046194916250808×R²
    0.00153397999999982×0.00046194916250808×6371000²
    0.00153397999999982×0.00046194916250808×40589641000000     		ar = 9633297.83574653m²