Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 109712 / 45969
↖ ↑ ↗
← N 47.247542°
E121.333008°		 ← 207.29 m → N 47.247542°
E121.335754°		 →
↑
207.31 m
↓
↑
207.31 m
↓
N 47.245678°
E121.333008°		 ← 207.30 m →
42 974 m²		 N 47.245678°
E121.335754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.837039947509766 y=0.350719451904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.837039947509766 × 217)
    floor (0.837039947509766 × 131072)
    floor (109712.5)     		tx = 109712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350719451904297 × 217)
    floor (0.350719451904297 × 131072)
    floor (45969.5)     		ty = 45969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 109712 / 45969 ti = "17/109712/45969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/109712/45969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109712 ÷ 217
    109712 ÷ 131072     		x = 0.8370361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45969 ÷ 217
    45969 ÷ 131072     		y = 0.350715637207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8370361328125 × 2 - 1) × π
    0.674072265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.11766048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350715637207031 × 2 - 1) × π
    0.298568725585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.937981314865639
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11766048} λ = 2.11766048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.937981314865639))-π/2
    2×atan(2.55481883446467)-π/2
    2×1.19771075363315-π/2
    2.3954215072663-1.57079632675     		φ = 0.82462518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11766048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.333008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82462518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.247542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109712 KachelY 45969 2.11766048 0.82462518 121.333008 47.247542
    Oben rechts KachelX + 1 109713 KachelY 45969 2.11770841 0.82462518 121.335754 47.247542
    Unten links KachelX 109712 KachelY + 1 45970 2.11766048 0.82459264 121.333008 47.245678
    Unten rechts KachelX + 1 109713 KachelY + 1 45970 2.11770841 0.82459264 121.335754 47.245678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82462518-0.82459264) × R
    3.25399999999698e-05 × 6371000     		dl = 207.312339999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82462518-0.82459264) × R
    3.25399999999698e-05 × 6371000     		dr = 207.312339999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11766048-2.11770841) × cos(0.82462518) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.67883224115189 × 6371000     		do = 207.289591187718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11766048-2.11770841) × cos(0.82459264) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.678856134699533 × 6371000     		du = 207.29688736993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82462518)-sin(0.82459264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67883224115189-0.678856134699533)×R²
    abs(2.11770841-2.11766048)×2.38935476429836e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38935476429836e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38935476429836e-05×40589641000000     		ar = 42974.446504624m²