Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1097 / 502
↖ ↑ ↗
← N 82.732092°
W131.791992°		 ← 618.19 m → N 82.732092°
W131.748047°		 →
↑
618.43 m
↓
↑
618.43 m
↓
N 82.726530°
W131.791992°		 ← 618.66 m →
382 452 m²		 N 82.726530°
W131.748047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13397216796875 y=0.06134033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13397216796875 × 213)
    floor (0.13397216796875 × 8192)
    floor (1097.5)     		tx = 1097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06134033203125 × 213)
    floor (0.06134033203125 × 8192)
    floor (502.5)     		ty = 502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1097 / 502 ti = "13/1097/502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1097/502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1097 ÷ 213
    1097 ÷ 8192     		x = 0.1339111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 502 ÷ 213
    502 ÷ 8192     		y = 0.061279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1339111328125 × 2 - 1) × π
    -0.732177734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.30020419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.061279296875 × 2 - 1) × π
    0.87744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.75656347575171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30020419} λ = -2.30020419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75656347575171))-π/2
    2×atan(15.7456395937643)-π/2
    2×1.50737186272205-π/2
    3.01474372544411-1.57079632675     		φ = 1.44394740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30020419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.791992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44394740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.732092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1097 KachelY 502 -2.30020419 1.44394740 -131.791992 82.732092
    Oben rechts KachelX + 1 1098 KachelY 502 -2.29943720 1.44394740 -131.748047 82.732092
    Unten links KachelX 1097 KachelY + 1 503 -2.30020419 1.44385033 -131.791992 82.726530
    Unten rechts KachelX + 1 1098 KachelY + 1 503 -2.29943720 1.44385033 -131.748047 82.726530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44394740-1.44385033) × R
    9.70700000000324e-05 × 6371000     		dl = 618.432970000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44394740-1.44385033) × R
    9.70700000000324e-05 × 6371000     		dr = 618.432970000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30020419--2.29943720) × cos(1.44394740) × R
    0.000766990000000245 × 0.12650902009067 × 6371000     		do = 618.185477797732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30020419--2.29943720) × cos(1.44385033) × R
    0.000766990000000245 × 0.126605309581407 × 6371000     		du = 618.655995748114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44394740)-sin(1.44385033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12650902009067-0.126605309581407)×R²
    abs(-2.29943720--2.30020419)×9.62894907365897e-05×R²
    0.000766990000000245×9.62894907365897e-05×6371000²
    0.000766990000000245×9.62894907365897e-05×40589641000000     		ar = 382451.773252749m²