Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1096 / 503
↖ ↑ ↗
← N 82.726530°
W131.835937°		 ← 618.66 m → N 82.726530°
W131.791992°		 →
↑
618.88 m
↓
↑
618.88 m
↓
N 82.720964°
W131.835937°		 ← 619.13 m →
383 019 m²		 N 82.720964°
W131.791992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13385009765625 y=0.06146240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13385009765625 × 213)
    floor (0.13385009765625 × 8192)
    floor (1096.5)     		tx = 1096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06146240234375 × 213)
    floor (0.06146240234375 × 8192)
    floor (503.5)     		ty = 503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1096 / 503 ti = "13/1096/503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1096/503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1096 ÷ 213
    1096 ÷ 8192     		x = 0.1337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 503 ÷ 213
    503 ÷ 8192     		y = 0.0614013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1337890625 × 2 - 1) × π
    -0.732421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.30097118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0614013671875 × 2 - 1) × π
    0.877197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.75579648535779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30097118} λ = -2.30097118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75579648535779))-π/2
    2×atan(15.7335674696432)-π/2
    2×1.50732332865934-π/2
    3.01464665731869-1.57079632675     		φ = 1.44385033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30097118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.835937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44385033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.726530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1096 KachelY 503 -2.30097118 1.44385033 -131.835937 82.726530
    Oben rechts KachelX + 1 1097 KachelY 503 -2.30020419 1.44385033 -131.791992 82.726530
    Unten links KachelX 1096 KachelY + 1 504 -2.30097118 1.44375319 -131.835937 82.720964
    Unten rechts KachelX + 1 1097 KachelY + 1 504 -2.30020419 1.44375319 -131.791992 82.720964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44385033-1.44375319) × R
    9.71400000000511e-05 × 6371000     		dl = 618.878940000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44385033-1.44375319) × R
    9.71400000000511e-05 × 6371000     		dr = 618.878940000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30097118--2.30020419) × cos(1.44385033) × R
    0.000766989999999801 × 0.126605309581407 × 6371000     		do = 618.655995747756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30097118--2.30020419) × cos(1.44375319) × R
    0.000766989999999801 × 0.126701667315055 × 6371000     		du = 619.126847166669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44385033)-sin(1.44375319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126605309581407-0.126701667315055)×R²
    abs(-2.30020419--2.30097118)×9.63577336484667e-05×R²
    0.000766989999999801×9.63577336484667e-05×6371000²
    0.000766989999999801×9.63577336484667e-05×40589641000000     		ar = 383018.867187966m²