Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10959 / 4691
↖ ↑ ↗
← N 82.247633°
W119.800415°		 ← 82.40 m → N 82.247633°
W119.794922°		 →
↑
82.38 m
↓
↑
82.38 m
↓
N 82.246892°
W119.800415°		 ← 82.41 m →
6 788 m²		 N 82.246892°
W119.794922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167228698730469 y=0.0715866088867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167228698730469 × 216)
    floor (0.167228698730469 × 65536)
    floor (10959.5)     		tx = 10959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0715866088867188 × 216)
    floor (0.0715866088867188 × 65536)
    floor (4691.5)     		ty = 4691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10959 / 4691 ti = "16/10959/4691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10959/4691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10959 ÷ 216
    10959 ÷ 65536     		x = 0.167221069335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4691 ÷ 216
    4691 ÷ 65536     		y = 0.0715789794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.167221069335938 × 2 - 1) × π
    -0.665557861328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.09091169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0715789794921875 × 2 - 1) × π
    0.856842041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.69184866126463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09091169} λ = -2.09091169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69184866126463))-π/2
    2×atan(14.7589349877074)-π/2
    2×1.50314416016379-π/2
    3.00628832032757-1.57079632675     		φ = 1.43549199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09091169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.800415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43549199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.247633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10959 KachelY 4691 -2.09091169 1.43549199 -119.800415 82.247633
    Oben rechts KachelX + 1 10960 KachelY 4691 -2.09081581 1.43549199 -119.794922 82.247633
    Unten links KachelX 10959 KachelY + 1 4692 -2.09091169 1.43547906 -119.800415 82.246892
    Unten rechts KachelX + 1 10960 KachelY + 1 4692 -2.09081581 1.43547906 -119.794922 82.246892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43549199-1.43547906) × R
    1.29300000000221e-05 × 6371000     		dl = 82.3770300001407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43549199-1.43547906) × R
    1.29300000000221e-05 × 6371000     		dr = 82.3770300001407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09091169--2.09081581) × cos(1.43549199) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.134891872504954 × 6371000     		do = 82.3988999595683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09091169--2.09081581) × cos(1.43547906) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.134904684317674 × 6371000     		du = 82.4067260743297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43549199)-sin(1.43547906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134891872504954-0.134904684317674)×R²
    abs(-2.09081581--2.09091169)×1.28118127199206e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.28118127199206e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.28118127199206e-05×40589641000000     		ar = 6788.0990000054m²