Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 109572 / 46079
↖ ↑ ↗
← N 47.042054°
E120.948486°		 ← 208.14 m → N 47.042054°
E120.951233°		 →
↑
208.14 m
↓
↑
208.14 m
↓
N 47.040182°
E120.948486°		 ← 208.14 m →
43 322 m²		 N 47.040182°
E120.951233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.835971832275391 y=0.351558685302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.835971832275391 × 217)
    floor (0.835971832275391 × 131072)
    floor (109572.5)     		tx = 109572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351558685302734 × 217)
    floor (0.351558685302734 × 131072)
    floor (46079.5)     		ty = 46079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 109572 / 46079 ti = "17/109572/46079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/109572/46079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109572 ÷ 217
    109572 ÷ 131072     		x = 0.835968017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46079 ÷ 217
    46079 ÷ 131072     		y = 0.351554870605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.835968017578125 × 2 - 1) × π
    0.67193603515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.11094931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351554870605469 × 2 - 1) × π
    0.296890258789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.932708255907433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11094931} λ = 2.11094931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932708255907433))-π/2
    2×atan(2.54138258033617)-π/2
    2×1.19591752683009-π/2
    2.39183505366018-1.57079632675     		φ = 0.82103873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11094931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 120.948486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82103873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.042054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109572 KachelY 46079 2.11094931 0.82103873 120.948486 47.042054
    Oben rechts KachelX + 1 109573 KachelY 46079 2.11099725 0.82103873 120.951233 47.042054
    Unten links KachelX 109572 KachelY + 1 46080 2.11094931 0.82100606 120.948486 47.040182
    Unten rechts KachelX + 1 109573 KachelY + 1 46080 2.11099725 0.82100606 120.951233 47.040182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82103873-0.82100606) × R
    3.26700000000679e-05 × 6371000     		dl = 208.140570000433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82103873-0.82100606) × R
    3.26700000000679e-05 × 6371000     		dr = 208.140570000433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11094931-2.11099725) × cos(0.82103873) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.681461376271805 × 6371000     		do = 208.135845129098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11094931-2.11099725) × cos(0.82100606) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.681485285580883 × 6371000     		du = 208.143147647516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82103873)-sin(0.82100606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681461376271805-0.681485285580883)×R²
    abs(2.11099725-2.11094931)×2.39093090783626e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39093090783626e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39093090783626e-05×40589641000000     		ar = 43322.273421703m²