Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10954 / 4551
↖ ↑ ↗
← N 82.350684°
W119.827881°		 ← 81.31 m → N 82.350684°
W119.822388°		 →
↑
81.29 m
↓
↑
81.29 m
↓
N 82.349953°
W119.827881°		 ← 81.32 m →
6 610 m²		 N 82.349953°
W119.822388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167152404785156 y=0.0694503784179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167152404785156 × 216)
    floor (0.167152404785156 × 65536)
    floor (10954.5)     		tx = 10954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0694503784179688 × 216)
    floor (0.0694503784179688 × 65536)
    floor (4551.5)     		ty = 4551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10954 / 4551 ti = "16/10954/4551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10954/4551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10954 ÷ 216
    10954 ÷ 65536     		x = 0.167144775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4551 ÷ 216
    4551 ÷ 65536     		y = 0.0694427490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.167144775390625 × 2 - 1) × π
    -0.66571044921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.09139106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0694427490234375 × 2 - 1) × π
    0.861114501953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.70527099315825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09139106} λ = -2.09139106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70527099315825))-π/2
    2×atan(14.9583697571873)-π/2
    2×1.50404344802664-π/2
    3.00808689605329-1.57079632675     		φ = 1.43729057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09139106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.827881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43729057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.350684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10954 KachelY 4551 -2.09139106 1.43729057 -119.827881 82.350684
    Oben rechts KachelX + 1 10955 KachelY 4551 -2.09129518 1.43729057 -119.822388 82.350684
    Unten links KachelX 10954 KachelY + 1 4552 -2.09139106 1.43727781 -119.827881 82.349953
    Unten rechts KachelX + 1 10955 KachelY + 1 4552 -2.09129518 1.43727781 -119.822388 82.349953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43729057-1.43727781) × R
    1.2759999999945e-05 × 6371000     		dl = 81.2939599996498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43729057-1.43727781) × R
    1.2759999999945e-05 × 6371000     		dr = 81.2939599996498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09139106--2.09129518) × cos(1.43729057) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.133109513723168 × 6371000     		do = 81.3101434598242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09139106--2.09129518) × cos(1.43727781) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.133122160165373 × 6371000     		du = 81.317868557762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43729057)-sin(1.43727781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133109513723168-0.133122160165373)×R²
    abs(-2.09129518--2.09139106)×1.26464422051109e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.26464422051109e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.26464422051109e-05×40589641000000     		ar = 6610.3375519246m²