Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10952 / 4553
↖ ↑ ↗
← N 82.349221°
W119.838867°		 ← 81.32 m → N 82.349221°
W119.833374°		 →
↑
81.29 m
↓
↑
81.29 m
↓
N 82.348490°
W119.838867°		 ← 81.32 m →
6 611 m²		 N 82.348490°
W119.833374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167121887207031 y=0.0694808959960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167121887207031 × 216)
    floor (0.167121887207031 × 65536)
    floor (10952.5)     		tx = 10952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0694808959960938 × 216)
    floor (0.0694808959960938 × 65536)
    floor (4553.5)     		ty = 4553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10952 / 4553 ti = "16/10952/4553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10952/4553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10952 ÷ 216
    10952 ÷ 65536     		x = 0.1671142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4553 ÷ 216
    4553 ÷ 65536     		y = 0.0694732666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1671142578125 × 2 - 1) × π
    -0.665771484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.09158280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0694732666015625 × 2 - 1) × π
    0.861053466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.70507924555977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09158280} λ = -2.09158280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70507924555977))-π/2
    2×atan(14.9555018006799)-π/2
    2×1.50403068509908-π/2
    3.00806137019815-1.57079632675     		φ = 1.43726504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09158280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.838867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43726504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.349221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10952 KachelY 4553 -2.09158280 1.43726504 -119.838867 82.349221
    Oben rechts KachelX + 1 10953 KachelY 4553 -2.09148693 1.43726504 -119.833374 82.349221
    Unten links KachelX 10952 KachelY + 1 4554 -2.09158280 1.43725228 -119.838867 82.348490
    Unten rechts KachelX + 1 10953 KachelY + 1 4554 -2.09148693 1.43725228 -119.833374 82.348490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43726504-1.43725228) × R
    1.2759999999945e-05 × 6371000     		dl = 81.2939599996498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43726504-1.43725228) × R
    1.2759999999945e-05 × 6371000     		dr = 81.2939599996498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09158280--2.09148693) × cos(1.43726504) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133134816496883 × 6371000     		do = 81.3171176774888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09158280--2.09148693) × cos(1.43725228) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.13314746289572 × 6371000     		du = 81.3248419432328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43726504)-sin(1.43725228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133134816496883-0.13314746289572)×R²
    abs(-2.09148693--2.09158280)×1.2646398836802e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.2646398836802e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.2646398836802e-05×40589641000000     		ar = 6610.90448012214m²