Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1095 / 3229
↖ ↑ ↗
← S 71.441171°
W 83.759766°		 ← 3 110.53 m → S 71.441171°
W 83.671875°		 →
↑
3 108.28 m
↓
↑
3 108.28 m
↓
S 71.469124°
W 83.759766°		 ← 3 106.01 m →
9 661 379 m²		 S 71.469124°
W 83.671875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2674560546875 y=0.7884521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2674560546875 × 212)
    floor (0.2674560546875 × 4096)
    floor (1095.5)     		tx = 1095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7884521484375 × 212)
    floor (0.7884521484375 × 4096)
    floor (3229.5)     		ty = 3229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1095 / 3229 ti = "12/1095/3229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1095/3229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1095 ÷ 212
    1095 ÷ 4096     		x = 0.267333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3229 ÷ 212
    3229 ÷ 4096     		y = 0.788330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267333984375 × 2 - 1) × π
    -0.46533203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46188369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788330078125 × 2 - 1) × π
    -0.57666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.81163131044116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46188369} λ = -1.46188369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81163131044116))-π/2
    2×atan(0.163387383738284)-π/2
    2×0.161956336984497-π/2
    0.323912673968995-1.57079632675     		φ = -1.24688365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46188369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.759766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24688365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.441171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1095 KachelY 3229 -1.46188369 -1.24688365 -83.759766 -71.441171
    Oben rechts KachelX + 1 1096 KachelY 3229 -1.46034971 -1.24688365 -83.671875 -71.441171
    Unten links KachelX 1095 KachelY + 1 3230 -1.46188369 -1.24737153 -83.759766 -71.469124
    Unten rechts KachelX + 1 1096 KachelY + 1 3230 -1.46034971 -1.24737153 -83.671875 -71.469124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24688365--1.24737153) × R
    0.000487879999999885 × 6371000     		dl = 3108.28347999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24688365--1.24737153) × R
    0.000487879999999885 × 6371000     		dr = 3108.28347999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46188369--1.46034971) × cos(-1.24688365) × R
    0.00153398000000005 × 0.318278194680013 × 6371000     		do = 3110.52852531448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46188369--1.46034971) × cos(-1.24737153) × R
    0.00153398000000005 × 0.317815647867951 × 6371000     		du = 3106.00806152759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24688365)-sin(-1.24737153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318278194680013-0.317815647867951)×R²
    abs(-1.46034971--1.46188369)×0.00046254681206126×R²
    0.00153398000000005×0.00046254681206126×6371000²
    0.00153398000000005×0.00046254681206126×40589641000000     		ar = 9661379.17948455m²