Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1095 / 3217
↖ ↑ ↗
← S 71.102543°
W 83.759766°		 ← 3 165.23 m → S 71.102543°
W 83.671875°		 →
↑
3 162.95 m
↓
↑
3 162.95 m
↓
S 71.130988°
W 83.759766°		 ← 3 160.64 m →
10 004 194 m²		 S 71.130988°
W 83.671875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2674560546875 y=0.7855224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2674560546875 × 212)
    floor (0.2674560546875 × 4096)
    floor (1095.5)     		tx = 1095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7855224609375 × 212)
    floor (0.7855224609375 × 4096)
    floor (3217.5)     		ty = 3217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1095 / 3217 ti = "12/1095/3217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1095/3217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1095 ÷ 212
    1095 ÷ 4096     		x = 0.267333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3217 ÷ 212
    3217 ÷ 4096     		y = 0.785400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267333984375 × 2 - 1) × π
    -0.46533203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46188369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785400390625 × 2 - 1) × π
    -0.57080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79322354098706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46188369} λ = -1.46188369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79322354098706))-π/2
    2×atan(0.1664228332452)-π/2
    2×0.16491142470898-π/2
    0.329822849417961-1.57079632675     		φ = -1.24097348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46188369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.759766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24097348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.102543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1095 KachelY 3217 -1.46188369 -1.24097348 -83.759766 -71.102543
    Oben rechts KachelX + 1 1096 KachelY 3217 -1.46034971 -1.24097348 -83.671875 -71.102543
    Unten links KachelX 1095 KachelY + 1 3218 -1.46188369 -1.24146994 -83.759766 -71.130988
    Unten rechts KachelX + 1 1096 KachelY + 1 3218 -1.46034971 -1.24146994 -83.671875 -71.130988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24097348--1.24146994) × R
    0.000496459999999921 × 6371000     		dl = 3162.9466599995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24097348--1.24146994) × R
    0.000496459999999921 × 6371000     		dr = 3162.9466599995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46188369--1.46034971) × cos(-1.24097348) × R
    0.00153398000000005 × 0.323875428877662 × 6371000     		do = 3165.23022001323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46188369--1.46034971) × cos(-1.24146994) × R
    0.00153398000000005 × 0.323405688309846 × 6371000     		du = 3160.63945174788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24097348)-sin(-1.24146994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323875428877662-0.323405688309846)×R²
    abs(-1.46034971--1.46188369)×0.00046974056781679×R²
    0.00153398000000005×0.00046974056781679×6371000²
    0.00153398000000005×0.00046974056781679×40589641000000     		ar = 10004194.3804228m²