Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10944 / 7096
↖ ↑ ↗
← N 80.245948°
W119.882812°		 ← 103.48 m → N 80.245948°
W119.877319°		 →
↑
103.47 m
↓
↑
103.47 m
↓
N 80.245018°
W119.882812°		 ← 103.49 m →
10 707 m²		 N 80.245018°
W119.877319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166999816894531 y=0.108283996582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166999816894531 × 216)
    floor (0.166999816894531 × 65536)
    floor (10944.5)     		tx = 10944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108283996582031 × 216)
    floor (0.108283996582031 × 65536)
    floor (7096.5)     		ty = 7096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10944 / 7096 ti = "16/10944/7096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10944/7096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10944 ÷ 216
    10944 ÷ 65536     		x = 0.1669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7096 ÷ 216
    7096 ÷ 65536     		y = 0.1082763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1669921875 × 2 - 1) × π
    -0.666015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09234979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1082763671875 × 2 - 1) × π
    0.783447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46127217409216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09234979} λ = -2.09234979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46127217409216))-π/2
    2×atan(11.7197115736845)-π/2
    2×1.48567617009906-π/2
    2.97135234019811-1.57079632675     		φ = 1.40055601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09234979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.882812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40055601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.245948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10944 KachelY 7096 -2.09234979 1.40055601 -119.882812 80.245948
    Oben rechts KachelX + 1 10945 KachelY 7096 -2.09225392 1.40055601 -119.877319 80.245948
    Unten links KachelX 10944 KachelY + 1 7097 -2.09234979 1.40053977 -119.882812 80.245018
    Unten rechts KachelX + 1 10945 KachelY + 1 7097 -2.09225392 1.40053977 -119.877319 80.245018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40055601-1.40053977) × R
    1.62400000001117e-05 × 6371000     		dl = 103.465040000712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40055601-1.40053977) × R
    1.62400000001117e-05 × 6371000     		dr = 103.465040000712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09234979--2.09225392) × cos(1.40055601) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169419196751676 × 6371000     		do = 103.479173379145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09234979--2.09225392) × cos(1.40053977) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169435201965211 × 6371000     		du = 103.488949167828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40055601)-sin(1.40053977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169419196751676-0.169435201965211)×R²
    abs(-2.09225392--2.09234979)×1.60052135352029e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.60052135352029e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.60052135352029e-05×40589641000000     		ar = 10706.9825393615m²