Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 10943 / 6850
↖ ↑ ↗
← N 80.472247°
W119.888306°		 ← 101.11 m → N 80.472247°
W119.882812°		 →
↑
101.11 m
↓
↑
101.11 m
↓
N 80.471338°
W119.888306°		 ← 101.12 m →
10 224 m²		 N 80.471338°
W119.882812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166984558105469 y=0.104530334472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166984558105469 × 216)
    floor (0.166984558105469 × 65536)
    floor (10943.5)     		tx = 10943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104530334472656 × 216)
    floor (0.104530334472656 × 65536)
    floor (6850.5)     		ty = 6850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10943 / 6850 ti = "16/10943/6850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10943/6850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10943 ÷ 216
    10943 ÷ 65536     		x = 0.166976928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6850 ÷ 216
    6850 ÷ 65536     		y = 0.104522705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166976928710938 × 2 - 1) × π
    -0.666046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.09244567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104522705078125 × 2 - 1) × π
    0.79095458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48485712870523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09244567} λ = -2.09244567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48485712870523))-π/2
    2×atan(11.9994057617205)-π/2
    2×1.48765099650987-π/2
    2.97530199301974-1.57079632675     		φ = 1.40450567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09244567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.888306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40450567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.472247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10943 KachelY 6850 -2.09244567 1.40450567 -119.888306 80.472247
    Oben rechts KachelX + 1 10944 KachelY 6850 -2.09234979 1.40450567 -119.882812 80.472247
    Unten links KachelX 10943 KachelY + 1 6851 -2.09244567 1.40448980 -119.888306 80.471338
    Unten rechts KachelX + 1 10944 KachelY + 1 6851 -2.09234979 1.40448980 -119.882812 80.471338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40450567-1.40448980) × R
    1.58700000001399e-05 × 6371000     		dl = 101.107770000892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40450567-1.40448980) × R
    1.58700000001399e-05 × 6371000     		dr = 101.107770000892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09244567--2.09234979) × cos(1.40450567) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.165525321384624 × 6371000     		do = 101.111387545207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09244567--2.09234979) × cos(1.40448980) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.165540972445706 × 6371000     		du = 101.120948019032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40450567)-sin(1.40448980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165525321384624-0.165540972445706)×R²
    abs(-2.09234979--2.09244567)×1.56510610817839e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.56510610817839e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.56510610817839e-05×40589641000000     		ar = 10223.6302355738m²