Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1094 / 1478
↖ ↑ ↗
← S 62.103883°
E 12.304687°		 ← 9 144.97 m → S 62.103883°
E 12.480469°		 →
↑
9 132.57 m
↓
↑
9 132.57 m
↓
S 62.186014°
E 12.304687°		 ← 9 120.20 m →
83 404 038 m²		 S 62.186014°
E 12.480469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534423828125 y=0.721923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534423828125 × 211)
    floor (0.534423828125 × 2048)
    floor (1094.5)     		tx = 1094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721923828125 × 211)
    floor (0.721923828125 × 2048)
    floor (1478.5)     		ty = 1478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1094 / 1478 ti = "11/1094/1478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1094/1478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1094 ÷ 211
    1094 ÷ 2048     		x = 0.5341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1478 ÷ 211
    1478 ÷ 2048     		y = 0.7216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5341796875 × 2 - 1) × π
    0.068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.21475731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7216796875 × 2 - 1) × π
    -0.443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39285455536035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21475731} λ = 0.21475731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39285455536035))-π/2
    2×atan(0.248365319214149)-π/2
    2×0.243439549258596-π/2
    0.486879098517192-1.57079632675     		φ = -1.08391723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21475731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.304687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08391723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.103883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1094 KachelY 1478 0.21475731 -1.08391723 12.304687 -62.103883
    Oben rechts KachelX + 1 1095 KachelY 1478 0.21782527 -1.08391723 12.480469 -62.103883
    Unten links KachelX 1094 KachelY + 1 1479 0.21475731 -1.08535069 12.304687 -62.186014
    Unten rechts KachelX + 1 1095 KachelY + 1 1479 0.21782527 -1.08535069 12.480469 -62.186014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08391723--1.08535069) × R
    0.00143346000000011 × 6371000     		dl = 9132.57366000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08391723--1.08535069) × R
    0.00143346000000011 × 6371000     		dr = 9132.57366000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21475731-0.21782527) × cos(-1.08391723) × R
    0.00306795999999998 × 0.467869925240023 × 6371000     		do = 9144.97300111264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21475731-0.21782527) × cos(-1.08535069) × R
    0.00306795999999998 × 0.46660255685181 × 6371000     		du = 9120.20105261279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08391723)-sin(-1.08535069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467869925240023-0.46660255685181)×R²
    abs(0.21782527-0.21475731)×0.00126736838821367×R²
    0.00306795999999998×0.00126736838821367×6371000²
    0.00306795999999998×0.00126736838821367×40589641000000     		ar = 83404038.0107908m²