Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10939 / 7109
↖ ↑ ↗
← N 80.233843°
W119.910278°		 ← 103.61 m → N 80.233843°
W119.904785°		 →
↑
103.66 m
↓
↑
103.66 m
↓
N 80.232911°
W119.910278°		 ← 103.62 m →
10 740 m²		 N 80.232911°
W119.904785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166923522949219 y=0.108482360839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166923522949219 × 216)
    floor (0.166923522949219 × 65536)
    floor (10939.5)     		tx = 10939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108482360839844 × 216)
    floor (0.108482360839844 × 65536)
    floor (7109.5)     		ty = 7109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10939 / 7109 ti = "16/10939/7109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10939/7109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10939 ÷ 216
    10939 ÷ 65536     		x = 0.166915893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7109 ÷ 216
    7109 ÷ 65536     		y = 0.108474731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166915893554688 × 2 - 1) × π
    -0.666168212890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09282916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108474731445312 × 2 - 1) × π
    0.783050537109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.46002581470204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09282916} λ = -2.09282916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46002581470204))-π/2
    2×atan(11.7051137001033)-π/2
    2×1.48557052662868-π/2
    2.97114105325737-1.57079632675     		φ = 1.40034473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09282916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.910278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40034473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.233843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10939 KachelY 7109 -2.09282916 1.40034473 -119.910278 80.233843
    Oben rechts KachelX + 1 10940 KachelY 7109 -2.09273329 1.40034473 -119.904785 80.233843
    Unten links KachelX 10939 KachelY + 1 7110 -2.09282916 1.40032846 -119.910278 80.232911
    Unten rechts KachelX + 1 10940 KachelY + 1 7110 -2.09273329 1.40032846 -119.904785 80.232911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40034473-1.40032846) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dl = 103.65616999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40034473-1.40032846) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dr = 103.65616999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09282916--2.09273329) × cos(1.40034473) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169627418722207 × 6371000     		do = 103.606352812191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09282916--2.09273329) × cos(1.40032846) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169643452919214 × 6371000     		du = 103.616146303624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40034473)-sin(1.40032846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169627418722207-0.169643452919214)×R²
    abs(-2.09273329--2.09282916)×1.60341970065758e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.60341970065758e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.60341970065758e-05×40589641000000     		ar = 10739.9452985928m²