Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10938 / 7110
↖ ↑ ↗
← N 80.232911°
W119.915772°		 ← 103.63 m → N 80.232911°
W119.910278°		 →
↑
103.59 m
↓
↑
103.59 m
↓
N 80.231979°
W119.915772°		 ← 103.64 m →
10 735 m²		 N 80.231979°
W119.910278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166908264160156 y=0.108497619628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166908264160156 × 216)
    floor (0.166908264160156 × 65536)
    floor (10938.5)     		tx = 10938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108497619628906 × 216)
    floor (0.108497619628906 × 65536)
    floor (7110.5)     		ty = 7110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10938 / 7110 ti = "16/10938/7110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10938/7110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10938 ÷ 216
    10938 ÷ 65536     		x = 0.166900634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7110 ÷ 216
    7110 ÷ 65536     		y = 0.108489990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166900634765625 × 2 - 1) × π
    -0.66619873046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.09292504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108489990234375 × 2 - 1) × π
    0.78302001953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4599299409028
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09292504} λ = -2.09292504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4599299409028))-π/2
    2×atan(11.703991540176)-π/2
    2×1.48556239483181-π/2
    2.97112478966363-1.57079632675     		φ = 1.40032846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09292504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.915772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40032846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.232911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10938 KachelY 7110 -2.09292504 1.40032846 -119.915772 80.232911
    Oben rechts KachelX + 1 10939 KachelY 7110 -2.09282916 1.40032846 -119.910278 80.232911
    Unten links KachelX 10938 KachelY + 1 7111 -2.09292504 1.40031220 -119.915772 80.231979
    Unten rechts KachelX + 1 10939 KachelY + 1 7111 -2.09282916 1.40031220 -119.910278 80.231979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40032846-1.40031220) × R
    1.62600000002122e-05 × 6371000     		dl = 103.592460001352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40032846-1.40031220) × R
    1.62600000002122e-05 × 6371000     		dr = 103.592460001352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09292504--2.09282916) × cos(1.40032846) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.169643452919214 × 6371000     		do = 103.626954287944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09292504--2.09282916) × cos(1.40031220) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.169659477216286 × 6371000     		du = 103.636742753527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40032846)-sin(1.40031220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169643452919214-0.169659477216286)×R²
    abs(-2.09282916--2.09292504)×1.60242970725644e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.60242970725644e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.60242970725644e-05×40589641000000     		ar = 10735.4781228214m²