Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10936 / 4541
↖ ↑ ↗
← N 82.357992°
W119.926758°		 ← 81.23 m → N 82.357992°
W119.921265°		 →
↑
81.23 m
↓
↑
81.23 m
↓
N 82.357262°
W119.926758°		 ← 81.24 m →
6 599 m²		 N 82.357262°
W119.921265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166877746582031 y=0.0692977905273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166877746582031 × 216)
    floor (0.166877746582031 × 65536)
    floor (10936.5)     		tx = 10936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0692977905273438 × 216)
    floor (0.0692977905273438 × 65536)
    floor (4541.5)     		ty = 4541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10936 / 4541 ti = "16/10936/4541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10936/4541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10936 ÷ 216
    10936 ÷ 65536     		x = 0.1668701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4541 ÷ 216
    4541 ÷ 65536     		y = 0.0692901611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1668701171875 × 2 - 1) × π
    -0.666259765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09311679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0692901611328125 × 2 - 1) × π
    0.861419677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.70622973115065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09311679} λ = -2.09311679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70622973115065))-π/2
    2×atan(14.9727177914817)-π/2
    2×1.50410722629474-π/2
    3.00821445258948-1.57079632675     		φ = 1.43741813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09311679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.926758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43741813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.357992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10936 KachelY 4541 -2.09311679 1.43741813 -119.926758 82.357992
    Oben rechts KachelX + 1 10937 KachelY 4541 -2.09302091 1.43741813 -119.921265 82.357992
    Unten links KachelX 10936 KachelY + 1 4542 -2.09311679 1.43740538 -119.926758 82.357262
    Unten rechts KachelX + 1 10937 KachelY + 1 4542 -2.09302091 1.43740538 -119.921265 82.357262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43741813-1.43740538) × R
    1.27500000000058e-05 × 6371000     		dl = 81.230250000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43741813-1.43740538) × R
    1.27500000000058e-05 × 6371000     		dr = 81.230250000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09311679--2.09302091) × cos(1.43741813) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.132983087754197 × 6371000     		do = 81.232915969568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09311679--2.09302091) × cos(1.43740538) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.132995724501801 × 6371000     		du = 81.2406351455444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43741813)-sin(1.43740538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132983087754197-0.132995724501801)×R²
    abs(-2.09302091--2.09311679)×1.26367476042388e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.26367476042388e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.26367476042388e-05×40589641000000     		ar = 6598.88358773497m²