Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1093 / 3215
↖ ↑ ↗
← S 71.045529°
W 83.935547°		 ← 3 174.43 m → S 71.045529°
W 83.847656°		 →
↑
3 172.12 m
↓
↑
3 172.12 m
↓
S 71.074057°
W 83.935547°		 ← 3 169.83 m →
10 062 374 m²		 S 71.074057°
W 83.847656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2669677734375 y=0.7850341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2669677734375 × 212)
    floor (0.2669677734375 × 4096)
    floor (1093.5)     		tx = 1093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7850341796875 × 212)
    floor (0.7850341796875 × 4096)
    floor (3215.5)     		ty = 3215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1093 / 3215 ti = "12/1093/3215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1093/3215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1093 ÷ 212
    1093 ÷ 4096     		x = 0.266845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3215 ÷ 212
    3215 ÷ 4096     		y = 0.784912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266845703125 × 2 - 1) × π
    -0.46630859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.46495165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784912109375 × 2 - 1) × π
    -0.56982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79015557941138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46495165} λ = -1.46495165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79015557941138))-π/2
    2×atan(0.166934196122647)-π/2
    2×0.165408965046793-π/2
    0.330817930093586-1.57079632675     		φ = -1.23997840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46495165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.935547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23997840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.045529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1093 KachelY 3215 -1.46495165 -1.23997840 -83.935547 -71.045529
    Oben rechts KachelX + 1 1094 KachelY 3215 -1.46341767 -1.23997840 -83.847656 -71.045529
    Unten links KachelX 1093 KachelY + 1 3216 -1.46495165 -1.24047630 -83.935547 -71.074057
    Unten rechts KachelX + 1 1094 KachelY + 1 3216 -1.46341767 -1.24047630 -83.847656 -71.074057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23997840--1.24047630) × R
    0.000497900000000051 × 6371000     		dl = 3172.12090000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23997840--1.24047630) × R
    0.000497900000000051 × 6371000     		dr = 3172.12090000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46495165--1.46341767) × cos(-1.23997840) × R
    0.00153398000000005 × 0.324816713297394 × 6371000     		do = 3174.42938001524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46495165--1.46341767) × cos(-1.24047630) × R
    0.00153398000000005 × 0.324345770694955 × 6371000     		du = 3169.82686428164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23997840)-sin(-1.24047630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324816713297394-0.324345770694955)×R²
    abs(-1.46341767--1.46495165)×0.000470942602439572×R²
    0.00153398000000005×0.000470942602439572×6371000²
    0.00153398000000005×0.000470942602439572×40589641000000     		ar = 10062374.1216202m²