Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10920 / 4504
↖ ↑ ↗
← N 82.384973°
W120.014649°		 ← 80.95 m → N 82.384973°
W120.009155°		 →
↑
80.91 m
↓
↑
80.91 m
↓
N 82.384245°
W120.014649°		 ← 80.96 m →
6 550 m²		 N 82.384245°
W120.009155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166633605957031 y=0.0687332153320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166633605957031 × 216)
    floor (0.166633605957031 × 65536)
    floor (10920.5)     		tx = 10920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0687332153320312 × 216)
    floor (0.0687332153320312 × 65536)
    floor (4504.5)     		ty = 4504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10920 / 4504 ti = "16/10920/4504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10920/4504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10920 ÷ 216
    10920 ÷ 65536     		x = 0.1666259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4504 ÷ 216
    4504 ÷ 65536     		y = 0.0687255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1666259765625 × 2 - 1) × π
    -0.666748046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.09465077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0687255859375 × 2 - 1) × π
    0.862548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.70977706172253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09465077} λ = -2.09465077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70977706172253))-π/2
    2×atan(15.0259252875414)-π/2
    2×1.50434267963096-π/2
    3.00868535926192-1.57079632675     		φ = 1.43788903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09465077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.014649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43788903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.384973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10920 KachelY 4504 -2.09465077 1.43788903 -120.014649 82.384973
    Oben rechts KachelX + 1 10921 KachelY 4504 -2.09455489 1.43788903 -120.009155 82.384973
    Unten links KachelX 10920 KachelY + 1 4505 -2.09465077 1.43787633 -120.014649 82.384245
    Unten rechts KachelX + 1 10921 KachelY + 1 4505 -2.09455489 1.43787633 -120.009155 82.384245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43788903-1.43787633) × R
    1.27000000000876e-05 × 6371000     		dl = 80.9117000005584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43788903-1.43787633) × R
    1.27000000000876e-05 × 6371000     		dr = 80.9117000005584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09465077--2.09455489) × cos(1.43788903) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.132516355416416 × 6371000     		do = 80.9478118302706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09465077--2.09455489) × cos(1.43787633) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.132528943402128 × 6371000     		du = 80.9555012199727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43788903)-sin(1.43787633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132516355416416-0.132528943402128)×R²
    abs(-2.09455489--2.09465077)×1.25879857116595e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.25879857116595e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.25879857116595e-05×40589641000000     		ar = 6549.93614715879m²