Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10910 / 6781
↖ ↑ ↗
← N 80.534782°
W120.069580°		 ← 100.44 m → N 80.534782°
W120.064087°		 →
↑
100.47 m
↓
↑
100.47 m
↓
N 80.533878°
W120.069580°		 ← 100.45 m →
10 092 m²		 N 80.533878°
W120.064087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166481018066406 y=0.103477478027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166481018066406 × 216)
    floor (0.166481018066406 × 65536)
    floor (10910.5)     		tx = 10910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103477478027344 × 216)
    floor (0.103477478027344 × 65536)
    floor (6781.5)     		ty = 6781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10910 / 6781 ti = "16/10910/6781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10910/6781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10910 ÷ 216
    10910 ÷ 65536     		x = 0.166473388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6781 ÷ 216
    6781 ÷ 65536     		y = 0.103469848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166473388671875 × 2 - 1) × π
    -0.66705322265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09560950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103469848632812 × 2 - 1) × π
    0.793060302734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4914724208528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09560950} λ = -2.09560950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4914724208528))-π/2
    2×atan(12.0790484758983)-π/2
    2×1.4881967135179-π/2
    2.9763934270358-1.57079632675     		φ = 1.40559710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09560950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.069580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40559710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.534782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10910 KachelY 6781 -2.09560950 1.40559710 -120.069580 80.534782
    Oben rechts KachelX + 1 10911 KachelY 6781 -2.09551363 1.40559710 -120.064087 80.534782
    Unten links KachelX 10910 KachelY + 1 6782 -2.09560950 1.40558133 -120.069580 80.533878
    Unten rechts KachelX + 1 10911 KachelY + 1 6782 -2.09551363 1.40558133 -120.064087 80.533878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40559710-1.40558133) × R
    1.57700000000816e-05 × 6371000     		dl = 100.47067000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40559710-1.40558133) × R
    1.57700000000816e-05 × 6371000     		dr = 100.47067000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09560950--2.09551363) × cos(1.40559710) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164448848696848 × 6371000     		do = 100.443345574613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09560950--2.09551363) × cos(1.40558133) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164464403977505 × 6371000     		du = 100.452846549797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40559710)-sin(1.40558133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164448848696848-0.164464403977505)×R²
    abs(-2.09551363--2.09560950)×1.55552806568593e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.55552806568593e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.55552806568593e-05×40589641000000     		ar = 10092.0875118528m²