Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1091 / 1389
↖ ↑ ↗
← N 75.704786°
W132.055664°		 ← 1 206.56 m → N 75.704786°
W132.011719°		 →
↑
1 206.99 m
↓
↑
1 206.99 m
↓
N 75.693932°
W132.055664°		 ← 1 207.46 m →
1 456 847 m²		 N 75.693932°
W132.011719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13323974609375 y=0.16961669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13323974609375 × 213)
    floor (0.13323974609375 × 8192)
    floor (1091.5)     		tx = 1091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16961669921875 × 213)
    floor (0.16961669921875 × 8192)
    floor (1389.5)     		ty = 1389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1091 / 1389 ti = "13/1091/1389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1091/1389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1091 ÷ 213
    1091 ÷ 8192     		x = 0.1331787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1389 ÷ 213
    1389 ÷ 8192     		y = 0.1695556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1331787109375 × 2 - 1) × π
    -0.733642578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.30480613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1695556640625 × 2 - 1) × π
    0.660888671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.07624299634387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30480613} λ = -2.30480613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07624299634387))-π/2
    2×atan(7.97445251648511)-π/2
    2×1.44604705433029-π/2
    2.89209410866058-1.57079632675     		φ = 1.32129778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30480613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.055664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32129778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.704786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1091 KachelY 1389 -2.30480613 1.32129778 -132.055664 75.704786
    Oben rechts KachelX + 1 1092 KachelY 1389 -2.30403914 1.32129778 -132.011719 75.704786
    Unten links KachelX 1091 KachelY + 1 1390 -2.30480613 1.32110833 -132.055664 75.693932
    Unten rechts KachelX + 1 1092 KachelY + 1 1390 -2.30403914 1.32110833 -132.011719 75.693932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32129778-1.32110833) × R
    0.000189450000000146 × 6371000     		dl = 1206.98595000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32129778-1.32110833) × R
    0.000189450000000146 × 6371000     		dr = 1206.98595000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30480613--2.30403914) × cos(1.32129778) × R
    0.000766989999999801 × 0.246918063930034 × 6371000     		do = 1206.56346257359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30480613--2.30403914) × cos(1.32110833) × R
    0.000766989999999801 × 0.247101643436497 × 6371000     		du = 1207.4605226001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32129778)-sin(1.32110833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.246918063930034-0.247101643436497)×R²
    abs(-2.30403914--2.30480613)×0.00018357950646275×R²
    0.000766989999999801×0.00018357950646275×6371000²
    0.000766989999999801×0.00018357950646275×40589641000000     		ar = 1456846.52089116m²