Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10907 / 6782
↖ ↑ ↗
← N 80.533878°
W120.086060°		 ← 100.46 m → N 80.533878°
W120.080566°		 →
↑
100.47 m
↓
↑
100.47 m
↓
N 80.532974°
W120.086060°		 ← 100.47 m →
10 094 m²		 N 80.532974°
W120.080566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166435241699219 y=0.103492736816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166435241699219 × 216)
    floor (0.166435241699219 × 65536)
    floor (10907.5)     		tx = 10907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103492736816406 × 216)
    floor (0.103492736816406 × 65536)
    floor (6782.5)     		ty = 6782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10907 / 6782 ti = "16/10907/6782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10907/6782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10907 ÷ 216
    10907 ÷ 65536     		x = 0.166427612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6782 ÷ 216
    6782 ÷ 65536     		y = 0.103485107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166427612304688 × 2 - 1) × π
    -0.667144775390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09589713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103485107421875 × 2 - 1) × π
    0.79302978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.49137654705356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09589713} λ = -2.09589713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49137654705356))-π/2
    2×atan(12.0778904671419)-π/2
    2×1.4881888299772-π/2
    2.9763776599544-1.57079632675     		φ = 1.40558133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09589713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.086060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40558133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.533878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10907 KachelY 6782 -2.09589713 1.40558133 -120.086060 80.533878
    Oben rechts KachelX + 1 10908 KachelY 6782 -2.09580125 1.40558133 -120.080566 80.533878
    Unten links KachelX 10907 KachelY + 1 6783 -2.09589713 1.40556556 -120.086060 80.532974
    Unten rechts KachelX + 1 10908 KachelY + 1 6783 -2.09580125 1.40556556 -120.080566 80.532974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40558133-1.40556556) × R
    1.57699999998595e-05 × 6371000     		dl = 100.470669999105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40558133-1.40556556) × R
    1.57699999998595e-05 × 6371000     		dr = 100.470669999105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09589713--2.09580125) × cos(1.40558133) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.164464403977505 × 6371000     		do = 100.463324576911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09589713--2.09580125) × cos(1.40556556) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.164479959217261 × 6371000     		du = 100.472826518137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40558133)-sin(1.40556556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164464403977505-0.164479959217261)×R²
    abs(-2.09580125--2.09589713)×1.55552397555214e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.55552397555214e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.55552397555214e-05×40589641000000     		ar = 10094.0948636518m²