Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 109021 / 100558
↖ ↑ ↗
← S 68.861536°
E119.435120°		 ← 110.14 m → S 68.861536°
E119.437866°		 →
↑
110.15 m
↓
↑
110.15 m
↓
S 68.862527°
E119.435120°		 ← 110.14 m →
12 133 m²		 S 68.862527°
E119.437866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831768035888672 y=0.767200469970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831768035888672 × 217)
    floor (0.831768035888672 × 131072)
    floor (109021.5)     		tx = 109021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767200469970703 × 217)
    floor (0.767200469970703 × 131072)
    floor (100558.5)     		ty = 100558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 109021 / 100558 ti = "17/109021/100558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/109021/100558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109021 ÷ 217
    109021 ÷ 131072     		x = 0.831764221191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100558 ÷ 217
    100558 ÷ 131072     		y = 0.767196655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831764221191406 × 2 - 1) × π
    0.663528442382812 × 3.1415926535     		Λ = 2.08453608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767196655273438 × 2 - 1) × π
    -0.534393310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67884609849361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08453608} λ = 2.08453608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67884609849361))-π/2
    2×atan(0.186589157376273)-π/2
    2×0.184467896683243-π/2
    0.368935793366486-1.57079632675     		φ = -1.20186053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08453608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.435120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20186053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.861536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109021 KachelY 100558 2.08453608 -1.20186053 119.435120 -68.861536
    Oben rechts KachelX + 1 109022 KachelY 100558 2.08458402 -1.20186053 119.437866 -68.861536
    Unten links KachelX 109021 KachelY + 1 100559 2.08453608 -1.20187782 119.435120 -68.862527
    Unten rechts KachelX + 1 109022 KachelY + 1 100559 2.08458402 -1.20187782 119.437866 -68.862527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20186053--1.20187782) × R
    1.72899999999476e-05 × 6371000     		dl = 110.154589999666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20186053--1.20187782) × R
    1.72899999999476e-05 × 6371000     		dr = 110.154589999666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08453608-2.08458402) × cos(-1.20186053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360623041632977 × 6371000     		do = 110.143559351731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08453608-2.08458402) × cos(-1.20187782) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360606914994648 × 6371000     		du = 110.138633861285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20186053)-sin(-1.20187782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360623041632977-0.360606914994648)×R²
    abs(2.08458402-2.08453608)×1.61266383288394e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61266383288394e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61266383288394e-05×40589641000000     		ar = 12132.5473392468m²