Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 109020 / 100561
↖ ↑ ↗
← S 68.864507°
E119.432373°		 ← 110.13 m → S 68.864507°
E119.435120°		 →
↑
110.15 m
↓
↑
110.15 m
↓
S 68.865498°
E119.432373°		 ← 110.12 m →
12 131 m²		 S 68.865498°
E119.435120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831760406494141 y=0.767223358154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831760406494141 × 217)
    floor (0.831760406494141 × 131072)
    floor (109020.5)     		tx = 109020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767223358154297 × 217)
    floor (0.767223358154297 × 131072)
    floor (100561.5)     		ty = 100561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 109020 / 100561 ti = "17/109020/100561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/109020/100561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109020 ÷ 217
    109020 ÷ 131072     		x = 0.831756591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100561 ÷ 217
    100561 ÷ 131072     		y = 0.767219543457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831756591796875 × 2 - 1) × π
    0.66351318359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.08448814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767219543457031 × 2 - 1) × π
    -0.534439086914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.67898990919247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08448814} λ = 2.08448814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67898990919247))-π/2
    2×atan(0.186562325788532)-π/2
    2×0.184441967696681-π/2
    0.368883935393361-1.57079632675     		φ = -1.20191239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08448814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.432373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20191239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.864507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109020 KachelY 100561 2.08448814 -1.20191239 119.432373 -68.864507
    Oben rechts KachelX + 1 109021 KachelY 100561 2.08453608 -1.20191239 119.435120 -68.864507
    Unten links KachelX 109020 KachelY + 1 100562 2.08448814 -1.20192968 119.432373 -68.865498
    Unten rechts KachelX + 1 109021 KachelY + 1 100562 2.08453608 -1.20192968 119.435120 -68.865498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20191239--1.20192968) × R
    1.72899999999476e-05 × 6371000     		dl = 110.154589999666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20191239--1.20192968) × R
    1.72899999999476e-05 × 6371000     		dr = 110.154589999666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08448814-2.08453608) × cos(-1.20191239) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360574670721895 × 6371000     		do = 110.128785630419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08448814-2.08453608) × cos(-1.20192968) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360558543760239 × 6371000     		du = 110.123860041221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20191239)-sin(-1.20192968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360574670721895-0.360558543760239)×R²
    abs(2.08453608-2.08448814)×1.61269616559823e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61269616559823e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61269616559823e-05×40589641000000     		ar = 12130.9199405129m²