Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 109013 / 100405
↖ ↑ ↗
← S 68.709474°
E119.413147°		 ← 110.90 m → S 68.709474°
E119.415893°		 →
↑
110.86 m
↓
↑
110.86 m
↓
S 68.710470°
E119.413147°		 ← 110.89 m →
12 294 m²		 S 68.710470°
E119.415893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831707000732422 y=0.766033172607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831707000732422 × 217)
    floor (0.831707000732422 × 131072)
    floor (109013.5)     		tx = 109013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766033172607422 × 217)
    floor (0.766033172607422 × 131072)
    floor (100405.5)     		ty = 100405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 109013 / 100405 ti = "17/109013/100405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/109013/100405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109013 ÷ 217
    109013 ÷ 131072     		x = 0.831703186035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100405 ÷ 217
    100405 ÷ 131072     		y = 0.766029357910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831703186035156 × 2 - 1) × π
    0.663406372070312 × 3.1415926535     		Λ = 2.08415258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766029357910156 × 2 - 1) × π
    -0.532058715820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.67151175285174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08415258} λ = 2.08415258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67151175285174))-π/2
    2×atan(0.187962697601689)-π/2
    2×0.185794895851197-π/2
    0.371589791702393-1.57079632675     		φ = -1.19920654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08415258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.413147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19920654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.709474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109013 KachelY 100405 2.08415258 -1.19920654 119.413147 -68.709474
    Oben rechts KachelX + 1 109014 KachelY 100405 2.08420052 -1.19920654 119.415893 -68.709474
    Unten links KachelX 109013 KachelY + 1 100406 2.08415258 -1.19922394 119.413147 -68.710470
    Unten rechts KachelX + 1 109014 KachelY + 1 100406 2.08420052 -1.19922394 119.415893 -68.710470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19920654--1.19922394) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dl = 110.855399999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19920654--1.19922394) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dr = 110.855399999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08415258-2.08420052) × cos(-1.19920654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363097176065857 × 6371000     		do = 110.899223691752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08415258-2.08420052) × cos(-1.19922394) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363080963538686 × 6371000     		du = 110.894271968643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19920654)-sin(-1.19922394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363097176065857-0.363080963538686)×R²
    abs(2.08420052-2.08415258)×1.6212527170989e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6212527170989e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6212527170989e-05×40589641000000     		ar = 12293.5033397742m²