Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 109012 / 100404
↖ ↑ ↗
← S 68.708476°
E119.410401°		 ← 110.88 m → S 68.708476°
E119.413147°		 →
↑
110.92 m
↓
↑
110.92 m
↓
S 68.709474°
E119.410401°		 ← 110.88 m →
12 299 m²		 S 68.709474°
E119.413147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831699371337891 y=0.766025543212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831699371337891 × 217)
    floor (0.831699371337891 × 131072)
    floor (109012.5)     		tx = 109012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766025543212891 × 217)
    floor (0.766025543212891 × 131072)
    floor (100404.5)     		ty = 100404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 109012 / 100404 ti = "17/109012/100404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/109012/100404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109012 ÷ 217
    109012 ÷ 131072     		x = 0.831695556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100404 ÷ 217
    100404 ÷ 131072     		y = 0.766021728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831695556640625 × 2 - 1) × π
    0.66339111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.08410465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766021728515625 × 2 - 1) × π
    -0.53204345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67146381595212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08410465} λ = 2.08410465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67146381595212))-π/2
    2×atan(0.187971708166624)-π/2
    2×0.185803598922108-π/2
    0.371607197844215-1.57079632675     		φ = -1.19918913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08410465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.410401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19918913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.708476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109012 KachelY 100404 2.08410465 -1.19918913 119.410401 -68.708476
    Oben rechts KachelX + 1 109013 KachelY 100404 2.08415258 -1.19918913 119.413147 -68.708476
    Unten links KachelX 109012 KachelY + 1 100405 2.08410465 -1.19920654 119.410401 -68.709474
    Unten rechts KachelX + 1 109013 KachelY + 1 100405 2.08415258 -1.19920654 119.413147 -68.709474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19918913--1.19920654) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dl = 110.919110000679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19918913--1.19920654) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dr = 110.919110000679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08410465-2.08415258) × cos(-1.19918913) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.363113397800546 × 6371000     		do = 110.88104427264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08410465-2.08415258) × cos(-1.19920654) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.363097176065857 × 6371000     		du = 110.876090770805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19918913)-sin(-1.19920654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363113397800546-0.363097176065857)×R²
    abs(2.08415258-2.08410465)×1.62217346893478e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62217346893478e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62217346893478e-05×40589641000000     		ar = 12298.55202797m²