Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 109001 / 100611
↖ ↑ ↗
← S 68.913970°
E119.380188°		 ← 109.88 m → S 68.913970°
E119.382935°		 →
↑
109.84 m
↓
↑
109.84 m
↓
S 68.914957°
E119.380188°		 ← 109.88 m →
12 069 m²		 S 68.914957°
E119.382935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831615447998047 y=0.767604827880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831615447998047 × 217)
    floor (0.831615447998047 × 131072)
    floor (109001.5)     		tx = 109001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767604827880859 × 217)
    floor (0.767604827880859 × 131072)
    floor (100611.5)     		ty = 100611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 109001 / 100611 ti = "17/109001/100611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/109001/100611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109001 ÷ 217
    109001 ÷ 131072     		x = 0.831611633300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100611 ÷ 217
    100611 ÷ 131072     		y = 0.767601013183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831611633300781 × 2 - 1) × π
    0.663223266601562 × 3.1415926535     		Λ = 2.08357734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767601013183594 × 2 - 1) × π
    -0.535202026367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.68138675417347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08357734} λ = 2.08357734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68138675417347))-π/2
    2×atan(0.186115700274199)-π/2
    2×0.184010329624036-π/2
    0.368020659248072-1.57079632675     		φ = -1.20277567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08357734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.380188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20277567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.913970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109001 KachelY 100611 2.08357734 -1.20277567 119.380188 -68.913970
    Oben rechts KachelX + 1 109002 KachelY 100611 2.08362528 -1.20277567 119.382935 -68.913970
    Unten links KachelX 109001 KachelY + 1 100612 2.08357734 -1.20279291 119.380188 -68.914957
    Unten rechts KachelX + 1 109002 KachelY + 1 100612 2.08362528 -1.20279291 119.382935 -68.914957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20277567--1.20279291) × R
    1.72400000000295e-05 × 6371000     		dl = 109.836040000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20277567--1.20279291) × R
    1.72400000000295e-05 × 6371000     		dr = 109.836040000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08357734-2.08362528) × cos(-1.20277567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359769329005334 × 6371000     		do = 109.882813540685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08357734-2.08362528) × cos(-1.20279291) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359753243320205 × 6371000     		du = 109.877900558402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20277567)-sin(-1.20279291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359769329005334-0.359753243320205)×R²
    abs(2.08362528-2.08357734)×1.60856851287305e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60856851287305e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60856851287305e-05×40589641000000     		ar = 12068.8232924027m²