Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 109001 / 100594
↖ ↑ ↗
← S 68.897165°
E119.380188°		 ← 109.97 m → S 68.897165°
E119.382935°		 →
↑
109.96 m
↓
↑
109.96 m
↓
S 68.898154°
E119.380188°		 ← 109.96 m →
12 092 m²		 S 68.898154°
E119.382935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831615447998047 y=0.767475128173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831615447998047 × 217)
    floor (0.831615447998047 × 131072)
    floor (109001.5)     		tx = 109001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767475128173828 × 217)
    floor (0.767475128173828 × 131072)
    floor (100594.5)     		ty = 100594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 109001 / 100594 ti = "17/109001/100594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/109001/100594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109001 ÷ 217
    109001 ÷ 131072     		x = 0.831611633300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100594 ÷ 217
    100594 ÷ 131072     		y = 0.767471313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831611633300781 × 2 - 1) × π
    0.663223266601562 × 3.1415926535     		Λ = 2.08357734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767471313476562 × 2 - 1) × π
    -0.534942626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68057182687993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08357734} λ = 2.08357734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68057182687993))-π/2
    2×atan(0.186267432855223)-π/2
    2×0.184156978291544-π/2
    0.368313956583088-1.57079632675     		φ = -1.20248237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08357734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.380188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20248237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.897165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109001 KachelY 100594 2.08357734 -1.20248237 119.380188 -68.897165
    Oben rechts KachelX + 1 109002 KachelY 100594 2.08362528 -1.20248237 119.382935 -68.897165
    Unten links KachelX 109001 KachelY + 1 100595 2.08357734 -1.20249963 119.380188 -68.898154
    Unten rechts KachelX + 1 109002 KachelY + 1 100595 2.08362528 -1.20249963 119.382935 -68.898154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20248237--1.20249963) × R
    1.72599999999079e-05 × 6371000     		dl = 109.963459999413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20248237--1.20249963) × R
    1.72599999999079e-05 × 6371000     		dr = 109.963459999413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08357734-2.08362528) × cos(-1.20248237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360042974534232 × 6371000     		do = 109.966391928847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08357734-2.08362528) × cos(-1.20249963) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360026872010087 × 6371000     		du = 109.961473803494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20248237)-sin(-1.20249963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360042974534232-0.360026872010087)×R²
    abs(2.08362528-2.08357734)×1.61025241453006e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61025241453006e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61025241453006e-05×40589641000000     		ar = 12092.0145334113m²