Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 109000 / 100605
↖ ↑ ↗
← S 68.908040°
E119.377442°		 ← 109.89 m → S 68.908040°
E119.380188°		 →
↑
109.90 m
↓
↑
109.90 m
↓
S 68.909028°
E119.377442°		 ← 109.88 m →
12 077 m²		 S 68.909028°
E119.380188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831607818603516 y=0.767559051513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831607818603516 × 217)
    floor (0.831607818603516 × 131072)
    floor (109000.5)     		tx = 109000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767559051513672 × 217)
    floor (0.767559051513672 × 131072)
    floor (100605.5)     		ty = 100605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 109000 / 100605 ti = "17/109000/100605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/109000/100605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109000 ÷ 217
    109000 ÷ 131072     		x = 0.83160400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100605 ÷ 217
    100605 ÷ 131072     		y = 0.767555236816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83160400390625 × 2 - 1) × π
    0.6632080078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.08352941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767555236816406 × 2 - 1) × π
    -0.535110473632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.68109913277575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08352941} λ = 2.08352941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68109913277575))-π/2
    2×atan(0.186169238831098)-π/2
    2×0.184062075245891-π/2
    0.368124150491781-1.57079632675     		φ = -1.20267218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08352941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.377442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20267218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.908040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109000 KachelY 100605 2.08352941 -1.20267218 119.377442 -68.908040
    Oben rechts KachelX + 1 109001 KachelY 100605 2.08357734 -1.20267218 119.380188 -68.908040
    Unten links KachelX 109000 KachelY + 1 100606 2.08352941 -1.20268943 119.377442 -68.909028
    Unten rechts KachelX + 1 109001 KachelY + 1 100606 2.08357734 -1.20268943 119.380188 -68.909028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20267218--1.20268943) × R
    1.72499999999687e-05 × 6371000     		dl = 109.8997499998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20267218--1.20268943) × R
    1.72499999999687e-05 × 6371000     		dr = 109.8997499998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08352941-2.08357734) × cos(-1.20267218) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.359865887520616 × 6371000     		do = 109.889377941114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08352941-2.08357734) × cos(-1.20268943) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.359849793147346 × 6371000     		du = 109.884463330621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20267218)-sin(-1.20268943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359865887520616-0.359849793147346)×R²
    abs(2.08357734-2.08352941)×1.60943732706031e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.60943732706031e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.60943732706031e-05×40589641000000     		ar = 12076.5451062836m²