Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 109 / 283
↖ ↑ ↗
← N 62.431074°
W141.679687°		 ← 18.092 km → N 62.431074°
W141.328125°		 →
↑
18.142 km
↓
↑
18.142 km
↓
N 62.267923°
W141.679687°		 ← 18.191 km →
329.119 km²		 N 62.267923°
W141.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.10693359375 y=0.27685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.10693359375 × 210)
    floor (0.10693359375 × 1024)
    floor (109.5)     		tx = 109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27685546875 × 210)
    floor (0.27685546875 × 1024)
    floor (283.5)     		ty = 283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 109 / 283 ti = "10/109/283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/109/283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 109 ÷ 210
    109 ÷ 1024     		x = 0.1064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 283 ÷ 210
    283 ÷ 1024     		y = 0.2763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1064453125 × 2 - 1) × π
    -0.787109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.47277703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2763671875 × 2 - 1) × π
    0.447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.40512640166309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.47277703} λ = -2.47277703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40512640166309))-π/2
    2×atan(4.07604192718507)-π/2
    2×1.33021206384889-π/2
    2.66042412769777-1.57079632675     		φ = 1.08962780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.47277703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.679687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08962780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.431074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 109 KachelY 283 -2.47277703 1.08962780 -141.679687 62.431074
    Oben rechts KachelX + 1 110 KachelY 283 -2.46664111 1.08962780 -141.328125 62.431074
    Unten links KachelX 109 KachelY + 1 284 -2.47277703 1.08678027 -141.679687 62.267923
    Unten rechts KachelX + 1 110 KachelY + 1 284 -2.46664111 1.08678027 -141.328125 62.267923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08962780-1.08678027) × R
    0.00284752999999993 × 6371000     		dl = 18141.6136299996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08962780-1.08678027) × R
    0.00284752999999993 × 6371000     		dr = 18141.6136299996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.47277703--2.46664111) × cos(1.08962780) × R
    0.00613592000000018 × 0.462815337370534 × 6371000     		do = 18092.3523245622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.47277703--2.46664111) × cos(1.08678027) × R
    0.00613592000000018 × 0.46533766400578 × 6371000     		du = 18190.9549819887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08962780)-sin(1.08678027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462815337370534-0.46533766400578)×R²
    abs(-2.46664111--2.47277703)×0.00252232663524599×R²
    0.00613592000000018×0.00252232663524599×6371000²
    0.00613592000000018×0.00252232663524599×40589641000000     		ar = 329119093.573524m²