Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108999 / 100595
↖ ↑ ↗
← S 68.898154°
E119.374695°		 ← 109.96 m → S 68.898154°
E119.377442°		 →
↑
109.96 m
↓
↑
109.96 m
↓
S 68.899143°
E119.374695°		 ← 109.96 m →
12 091 m²		 S 68.899143°
E119.377442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831600189208984 y=0.767482757568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831600189208984 × 217)
    floor (0.831600189208984 × 131072)
    floor (108999.5)     		tx = 108999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767482757568359 × 217)
    floor (0.767482757568359 × 131072)
    floor (100595.5)     		ty = 100595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108999 / 100595 ti = "17/108999/100595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108999/100595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108999 ÷ 217
    108999 ÷ 131072     		x = 0.831596374511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100595 ÷ 217
    100595 ÷ 131072     		y = 0.767478942871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831596374511719 × 2 - 1) × π
    0.663192749023438 × 3.1415926535     		Λ = 2.08348147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767478942871094 × 2 - 1) × π
    -0.534957885742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.68061976377955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08348147} λ = 2.08348147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68061976377955))-π/2
    2×atan(0.186258503986005)-π/2
    2×0.18414834881255-π/2
    0.3682966976251-1.57079632675     		φ = -1.20249963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08348147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.374695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20249963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.898154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108999 KachelY 100595 2.08348147 -1.20249963 119.374695 -68.898154
    Oben rechts KachelX + 1 109000 KachelY 100595 2.08352941 -1.20249963 119.377442 -68.898154
    Unten links KachelX 108999 KachelY + 1 100596 2.08348147 -1.20251689 119.374695 -68.899143
    Unten rechts KachelX + 1 109000 KachelY + 1 100596 2.08352941 -1.20251689 119.377442 -68.899143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20249963--1.20251689) × R
    1.72600000001299e-05 × 6371000     		dl = 109.963460000828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20249963--1.20251689) × R
    1.72600000001299e-05 × 6371000     		dr = 109.963460000828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08348147-2.08352941) × cos(-1.20249963) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360026872010087 × 6371000     		do = 109.961473803494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08348147-2.08352941) × cos(-1.20251689) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360010769378687 × 6371000     		du = 109.956555645383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20249963)-sin(-1.20251689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360026872010087-0.360010769378687)×R²
    abs(2.08352941-2.08348147)×1.61026314002832e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61026314002832e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61026314002832e-05×40589641000000     		ar = 12091.4737175996m²