Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108997 / 100595
↖ ↑ ↗
← S 68.898154°
E119.369201°		 ← 109.96 m → S 68.898154°
E119.371948°		 →
↑
109.96 m
↓
↑
109.96 m
↓
S 68.899143°
E119.369201°		 ← 109.96 m →
12 091 m²		 S 68.899143°
E119.371948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831584930419922 y=0.767482757568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831584930419922 × 217)
    floor (0.831584930419922 × 131072)
    floor (108997.5)     		tx = 108997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767482757568359 × 217)
    floor (0.767482757568359 × 131072)
    floor (100595.5)     		ty = 100595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108997 / 100595 ti = "17/108997/100595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108997/100595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108997 ÷ 217
    108997 ÷ 131072     		x = 0.831581115722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100595 ÷ 217
    100595 ÷ 131072     		y = 0.767478942871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831581115722656 × 2 - 1) × π
    0.663162231445312 × 3.1415926535     		Λ = 2.08338559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767478942871094 × 2 - 1) × π
    -0.534957885742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.68061976377955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08338559} λ = 2.08338559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68061976377955))-π/2
    2×atan(0.186258503986005)-π/2
    2×0.18414834881255-π/2
    0.3682966976251-1.57079632675     		φ = -1.20249963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08338559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.369201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20249963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.898154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108997 KachelY 100595 2.08338559 -1.20249963 119.369201 -68.898154
    Oben rechts KachelX + 1 108998 KachelY 100595 2.08343353 -1.20249963 119.371948 -68.898154
    Unten links KachelX 108997 KachelY + 1 100596 2.08338559 -1.20251689 119.369201 -68.899143
    Unten rechts KachelX + 1 108998 KachelY + 1 100596 2.08343353 -1.20251689 119.371948 -68.899143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20249963--1.20251689) × R
    1.72600000001299e-05 × 6371000     		dl = 109.963460000828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20249963--1.20251689) × R
    1.72600000001299e-05 × 6371000     		dr = 109.963460000828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08338559-2.08343353) × cos(-1.20249963) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.360026872010087 × 6371000     		do = 109.961473804513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08338559-2.08343353) × cos(-1.20251689) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.360010769378687 × 6371000     		du = 109.956555646401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20249963)-sin(-1.20251689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360026872010087-0.360010769378687)×R²
    abs(2.08343353-2.08338559)×1.61026314002832e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.61026314002832e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.61026314002832e-05×40589641000000     		ar = 12091.4737177116m²