Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108997 / 100549
↖ ↑ ↗
← S 68.852620°
E119.369201°		 ← 110.19 m → S 68.852620°
E119.371948°		 →
↑
110.15 m
↓
↑
110.15 m
↓
S 68.853611°
E119.369201°		 ← 110.18 m →
12 137 m²		 S 68.853611°
E119.371948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831584930419922 y=0.767131805419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831584930419922 × 217)
    floor (0.831584930419922 × 131072)
    floor (108997.5)     		tx = 108997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767131805419922 × 217)
    floor (0.767131805419922 × 131072)
    floor (100549.5)     		ty = 100549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108997 / 100549 ti = "17/108997/100549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108997/100549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108997 ÷ 217
    108997 ÷ 131072     		x = 0.831581115722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100549 ÷ 217
    100549 ÷ 131072     		y = 0.767127990722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831581115722656 × 2 - 1) × π
    0.663162231445312 × 3.1415926535     		Λ = 2.08338559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767127990722656 × 2 - 1) × π
    -0.534255981445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.67841466639703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08338559} λ = 2.08338559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67841466639703))-π/2
    2×atan(0.186669675295397)-π/2
    2×0.184545704513656-π/2
    0.369091409027312-1.57079632675     		φ = -1.20170492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08338559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.369201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20170492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.852620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108997 KachelY 100549 2.08338559 -1.20170492 119.369201 -68.852620
    Oben rechts KachelX + 1 108998 KachelY 100549 2.08343353 -1.20170492 119.371948 -68.852620
    Unten links KachelX 108997 KachelY + 1 100550 2.08338559 -1.20172221 119.369201 -68.853611
    Unten rechts KachelX + 1 108998 KachelY + 1 100550 2.08343353 -1.20172221 119.371948 -68.853611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20170492--1.20172221) × R
    1.72899999999476e-05 × 6371000     		dl = 110.154589999666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20170492--1.20172221) × R
    1.72899999999476e-05 × 6371000     		dr = 110.154589999666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08338559-2.08343353) × cos(-1.20170492) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.360768176526083 × 6371000     		do = 110.187887284878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08338559-2.08343353) × cos(-1.20172221) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.360752050858183 × 6371000     		du = 110.182962090826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20170492)-sin(-1.20172221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360768176526083-0.360752050858183)×R²
    abs(2.08343353-2.08338559)×1.61256679001021e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.61256679001021e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.61256679001021e-05×40589641000000     		ar = 12137.4302808807m²