Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108995 / 100602
↖ ↑ ↗
← S 68.905074°
E119.363708°		 ← 109.93 m → S 68.905074°
E119.366455°		 →
↑
109.90 m
↓
↑
109.90 m
↓
S 68.906063°
E119.363708°		 ← 109.92 m →
12 081 m²		 S 68.906063°
E119.366455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831569671630859 y=0.767536163330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831569671630859 × 217)
    floor (0.831569671630859 × 131072)
    floor (108995.5)     		tx = 108995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767536163330078 × 217)
    floor (0.767536163330078 × 131072)
    floor (100602.5)     		ty = 100602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108995 / 100602 ti = "17/108995/100602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108995/100602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108995 ÷ 217
    108995 ÷ 131072     		x = 0.831565856933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100602 ÷ 217
    100602 ÷ 131072     		y = 0.767532348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831565856933594 × 2 - 1) × π
    0.663131713867188 × 3.1415926535     		Λ = 2.08328972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767532348632812 × 2 - 1) × π
    -0.535064697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68095532207689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08328972} λ = 2.08328972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68095532207689))-π/2
    2×atan(0.186196013884664)-π/2
    2×0.184087953264583-π/2
    0.368175906529165-1.57079632675     		φ = -1.20262042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08328972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.363708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20262042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.905074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108995 KachelY 100602 2.08328972 -1.20262042 119.363708 -68.905074
    Oben rechts KachelX + 1 108996 KachelY 100602 2.08333766 -1.20262042 119.366455 -68.905074
    Unten links KachelX 108995 KachelY + 1 100603 2.08328972 -1.20263767 119.363708 -68.906063
    Unten rechts KachelX + 1 108996 KachelY + 1 100603 2.08333766 -1.20263767 119.366455 -68.906063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20262042--1.20263767) × R
    1.72500000001907e-05 × 6371000     		dl = 109.899750001215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20262042--1.20263767) × R
    1.72500000001907e-05 × 6371000     		dr = 109.899750001215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08328972-2.08333766) × cos(-1.20262042) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.359914179327768 × 6371000     		do = 109.927054558622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08328972-2.08333766) × cos(-1.20263767) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.359898085275821 × 6371000     		du = 109.922139020897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20262042)-sin(-1.20263767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359914179327768-0.359898085275821)×R²
    abs(2.08333766-2.08328972)×1.60940519466357e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.60940519466357e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.60940519466357e-05×40589641000000     		ar = 12080.6857063405m²