Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108991 / 101312
↖ ↑ ↗
← S 69.595890°
E119.352722°		 ← 106.48 m → S 69.595890°
E119.355469°		 →
↑
106.46 m
↓
↑
106.46 m
↓
S 69.596848°
E119.352722°		 ← 106.48 m →
11 336 m²		 S 69.596848°
E119.355469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831539154052734 y=0.772953033447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831539154052734 × 217)
    floor (0.831539154052734 × 131072)
    floor (108991.5)     		tx = 108991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772953033447266 × 217)
    floor (0.772953033447266 × 131072)
    floor (101312.5)     		ty = 101312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108991 / 101312 ti = "17/108991/101312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108991/101312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108991 ÷ 217
    108991 ÷ 131072     		x = 0.831535339355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101312 ÷ 217
    101312 ÷ 131072     		y = 0.77294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831535339355469 × 2 - 1) × π
    0.663070678710938 × 3.1415926535     		Λ = 2.08309797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77294921875 × 2 - 1) × π
    -0.5458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71499052080713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08309797} λ = 2.08309797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71499052080713))-π/2
    2×atan(0.179965426632016)-π/2
    2×0.178059449683757-π/2
    0.356118899367515-1.57079632675     		φ = -1.21467743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08309797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.352722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21467743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.595890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108991 KachelY 101312 2.08309797 -1.21467743 119.352722 -69.595890
    Oben rechts KachelX + 1 108992 KachelY 101312 2.08314591 -1.21467743 119.355469 -69.595890
    Unten links KachelX 108991 KachelY + 1 101313 2.08309797 -1.21469414 119.352722 -69.596848
    Unten rechts KachelX + 1 108992 KachelY + 1 101313 2.08314591 -1.21469414 119.355469 -69.596848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21467743--1.21469414) × R
    1.67099999999198e-05 × 6371000     		dl = 106.459409999489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21467743--1.21469414) × R
    1.67099999999198e-05 × 6371000     		dr = 106.459409999489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08309797-2.08314591) × cos(-1.21467743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348639277088577 × 6371000     		do = 106.483409197774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08309797-2.08314591) × cos(-1.21469414) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348623615475698 × 6371000     		du = 106.478625738071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21467743)-sin(-1.21469414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348639277088577-0.348623615475698)×R²
    abs(2.08314591-2.08309797)×1.56616128798026e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56616128798026e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56616128798026e-05×40589641000000     		ar = 11335.9062961952m²