Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108990 / 101316
↖ ↑ ↗
← S 69.599720°
E119.349976°		 ← 106.44 m → S 69.599720°
E119.352722°		 →
↑
106.46 m
↓
↑
106.46 m
↓
S 69.600677°
E119.349976°		 ← 106.44 m →
11 332 m²		 S 69.600677°
E119.352722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831531524658203 y=0.772983551025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831531524658203 × 217)
    floor (0.831531524658203 × 131072)
    floor (108990.5)     		tx = 108990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772983551025391 × 217)
    floor (0.772983551025391 × 131072)
    floor (101316.5)     		ty = 101316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108990 / 101316 ti = "17/108990/101316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108990/101316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108990 ÷ 217
    108990 ÷ 131072     		x = 0.831527709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101316 ÷ 217
    101316 ÷ 131072     		y = 0.772979736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831527709960938 × 2 - 1) × π
    0.663055419921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.08305004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772979736328125 × 2 - 1) × π
    -0.54595947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71518226840561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08305004} λ = 2.08305004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71518226840561))-π/2
    2×atan(0.179930922001846)-π/2
    2×0.178026027314862-π/2
    0.356052054629725-1.57079632675     		φ = -1.21474427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08305004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.349976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21474427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.599720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108990 KachelY 101316 2.08305004 -1.21474427 119.349976 -69.599720
    Oben rechts KachelX + 1 108991 KachelY 101316 2.08309797 -1.21474427 119.352722 -69.599720
    Unten links KachelX 108990 KachelY + 1 101317 2.08305004 -1.21476098 119.349976 -69.600677
    Unten rechts KachelX + 1 108991 KachelY + 1 101317 2.08309797 -1.21476098 119.352722 -69.600677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21474427--1.21476098) × R
    1.67100000001419e-05 × 6371000     		dl = 106.459410000904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21474427--1.21476098) × R
    1.67100000001419e-05 × 6371000     		dr = 106.459410000904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08305004-2.08309797) × cos(-1.21474427) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.348576630053011 × 6371000     		do = 106.442067363612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08305004-2.08309797) × cos(-1.21476098) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.348560968050781 × 6371000     		du = 106.437284782817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21474427)-sin(-1.21476098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348576630053011-0.348560968050781)×R²
    abs(2.08309797-2.08305004)×1.56620022301879e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56620022301879e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56620022301879e-05×40589641000000     		ar = 11331.50511579m²