Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108988 / 101308
↖ ↑ ↗
← S 69.592059°
E119.344482°		 ← 106.50 m → S 69.592059°
E119.347229°		 →
↑
106.52 m
↓
↑
106.52 m
↓
S 69.593017°
E119.344482°		 ← 106.50 m →
11 345 m²		 S 69.593017°
E119.347229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831516265869141 y=0.772922515869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831516265869141 × 217)
    floor (0.831516265869141 × 131072)
    floor (108988.5)     		tx = 108988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772922515869141 × 217)
    floor (0.772922515869141 × 131072)
    floor (101308.5)     		ty = 101308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108988 / 101308 ti = "17/108988/101308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108988/101308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108988 ÷ 217
    108988 ÷ 131072     		x = 0.831512451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101308 ÷ 217
    101308 ÷ 131072     		y = 0.772918701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831512451171875 × 2 - 1) × π
    0.66302490234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.08295416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772918701171875 × 2 - 1) × π
    -0.54583740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71479877320865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08295416} λ = 2.08295416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71479877320865))-π/2
    2×atan(0.179999937879001)-π/2
    2×0.178092878059752-π/2
    0.356185756119505-1.57079632675     		φ = -1.21461057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08295416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.344482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21461057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.592059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108988 KachelY 101308 2.08295416 -1.21461057 119.344482 -69.592059
    Oben rechts KachelX + 1 108989 KachelY 101308 2.08300210 -1.21461057 119.347229 -69.592059
    Unten links KachelX 108988 KachelY + 1 101309 2.08295416 -1.21462729 119.344482 -69.593017
    Unten rechts KachelX + 1 108989 KachelY + 1 101309 2.08300210 -1.21462729 119.347229 -69.593017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21461057--1.21462729) × R
    1.67199999998591e-05 × 6371000     		dl = 106.523119999102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21461057--1.21462729) × R
    1.67199999998591e-05 × 6371000     		dr = 106.523119999102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08295416-2.08300210) × cos(-1.21461057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348701941311242 × 6371000     		do = 106.502548464353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08295416-2.08300210) × cos(-1.21462729) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348686270715504 × 6371000     		du = 106.497762261053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21461057)-sin(-1.21462729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348701941311242-0.348686270715504)×R²
    abs(2.08300210-2.08295416)×1.56705957379821e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56705957379821e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56705957379821e-05×40589641000000     		ar = 11344.7288298997m²