Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108987 / 101314
↖ ↑ ↗
← S 69.597805°
E119.341736°		 ← 106.45 m → S 69.597805°
E119.344482°		 →
↑
106.46 m
↓
↑
106.46 m
↓
S 69.598762°
E119.341736°		 ← 106.45 m →
11 333 m²		 S 69.598762°
E119.344482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831508636474609 y=0.772968292236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831508636474609 × 217)
    floor (0.831508636474609 × 131072)
    floor (108987.5)     		tx = 108987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772968292236328 × 217)
    floor (0.772968292236328 × 131072)
    floor (101314.5)     		ty = 101314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108987 / 101314 ti = "17/108987/101314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108987/101314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108987 ÷ 217
    108987 ÷ 131072     		x = 0.831504821777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101314 ÷ 217
    101314 ÷ 131072     		y = 0.772964477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831504821777344 × 2 - 1) × π
    0.663009643554688 × 3.1415926535     		Λ = 2.08290623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772964477539062 × 2 - 1) × π
    -0.545928955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71508639460637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08290623} λ = 2.08290623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71508639460637))-π/2
    2×atan(0.179948173489908)-π/2
    2×0.178042737748481-π/2
    0.356085475496961-1.57079632675     		φ = -1.21471085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08290623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.341736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21471085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.597805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108987 KachelY 101314 2.08290623 -1.21471085 119.341736 -69.597805
    Oben rechts KachelX + 1 108988 KachelY 101314 2.08295416 -1.21471085 119.344482 -69.597805
    Unten links KachelX 108987 KachelY + 1 101315 2.08290623 -1.21472756 119.341736 -69.598762
    Unten rechts KachelX + 1 108988 KachelY + 1 101315 2.08295416 -1.21472756 119.344482 -69.598762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21471085--1.21472756) × R
    1.67100000001419e-05 × 6371000     		dl = 106.459410000904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21471085--1.21472756) × R
    1.67100000001419e-05 × 6371000     		dr = 106.459410000904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08290623-2.08295416) × cos(-1.21471085) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.348607953765474 × 6371000     		do = 106.451632436036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08290623-2.08295416) × cos(-1.21472756) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.34859229195791 × 6371000     		du = 106.446849914685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21471085)-sin(-1.21472756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348607953765474-0.34859229195791)×R²
    abs(2.08295416-2.08290623)×1.56618075638493e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56618075638493e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56618075638493e-05×40589641000000     		ar = 11332.5234109221m²